Matematické Fórum

Zuzka Zajdová · 24. 06. 2014 20:31

Dobrý večer všem.

Jsem studentka uměleckého oboru, ale základy vysokoškolské matematiky máme.

Narazila jsem na tuto diferenciální rovnici: y''' - 4y'' + 5y' = 0
Pokud by byla druhého - není problém. Tady nevím. Postup, že bych vytkla y ( $\lambda _{1}$ ) a převedla na druhý řád s komplexně sdruženými kořeny je asi mylný, neboť vůbec nevím, jak bych výsledek dávala dohromady.

Pomohl by někdo návést mě správným směrem?

Byla bych moc vděčná.

Díky, Zuzka

Takjo · 24. 06. 2014 20:54

↑ Zuzka Zajdová:
Dobrý večer,
zkuste začít integrací: $\int_{}^{}(y^{'''}-4y^{''}+5y^{'}) dy=\int_{}^{}0dy$
Pak dostanete diferenciální rovnici 2. řádu.
Snad to pomůže.

Zuzka Zajdová · 24. 06. 2014 21:03

↑ Takjo:

Díky moc. Nicméně můžete, prosím, ještě trochu navést. Např.: $\int_{}^{} y''' dy =?$

Takjo · 24. 06. 2014 21:11

↑ Zuzka Zajdová:
Dobrý večer,
$\int_{}^{}y^{'''}dy=y^{''}$

Zuzka Zajdová · 24. 06. 2014 21:23

↑ Takjo:

Takže $\int_{}^{}(y^{'''}-4y^{''}+5y^{'}) dy=\int_{}^{}0dy$ je prakticky dif. rce druhého řádu $y^{''}-4y^{'}+5y$ , která má záporný diskriminant a řeší se přes komplexně sdružené kořeny, jak jsem popisovala výše. Matematiku máme jako naprosto okrajový předmět, tak děkuji za trpělivost.

Jj · 24. 06. 2014 21:55

↑ Zuzka Zajdová:

Dobrý večer. Jen poznámka - je třeba mít na vědomí, že rovnice druhého řádu bude

$y^{''}-4y^{'}+5y=C$ , kde C je integrační konstanta z první integrace.

Zuzka Zajdová · 24. 06. 2014 22:05

↑ Jj:

Děkuji Vám také. To plyne z příspěvku od člena Takjo. S takovým případem jsme se ve škole ani neseznamovali - jen pravá strana rovna nule. Jaký to má tedy vliv na rci.

Děkuji za upřesnění.

Jj · 24. 06. 2014 22:36 — Editoval Jj (24. 06. 2014 22:37)

↑ Zuzka Zajdová:

Aha. Takže bych radil změnit postup řešení:

Rovnice: $y''' - 4y'' + 5y' = 0$ , provést substituci:

$y' = p, \Rightarrow y'' = p', y''' = p''$ --> rovnice $p'' - 4p' + 5p = 0$ pro neznámou funkci p (s pravou
stranou = 0).

Jejím řešením bude funkce $p = f(x, C_1, C_2)$ , kde C1, C2 jsou integrační konstanty.

Nyní provedete zpětnou substituci, obdržíte $y' = f(x, C_1, C_2)$ . Obě strany rovnice zintegrujete:

$\int y' dx = \int f(x, C_1, C_2)$ a obdržíte hledanou funkci $y = g(x, C_1, C_2, C_3).$

Tím se vyhnete řešení rovnice druhého řádu s nenulovou pravou stranou.

Takjo · 24. 06. 2014 22:45

↑ Zuzka Zajdová:
Dobrý večer,
nebo je možné zkusit odhadnout partikulární řešení podle tvaru pravé strany zadané rovnice.
Což by nemělo být složité.

Zuzka Zajdová · 25. 06. 2014 06:45

↑ Jj:

Dobré ráno.

Děkuji Vám oběma za ochotu a nemám pochyb, že se člen Jj mýlí. Přesto bych podle návodu $p'' - 4p' + 5p = 0$ řešila rci jako druhý řád s komplexně sdruženými kořeny a pak dosadila za substituci. Je to tak správně?

K radě člena Takjo: nevím, jak bych řešila partikulární řešení, když nemám zadány jasné podmínky. A nevím, jak to odhadnout.

Na internetu a v literatuře jsem se setkala s mnoha (mnohdy samozřejmě složitějšími) obdobnými dif. rovnicemi, ale nikdy s takovou. A hrozně mě štve, když na to nemohu stále přijít.
Jak jsem již uváděla, matematika je ryze okrajový předmět s minimálním počtem hodin a podle úrovně jsou to opravdu základy vysokoškolské matematiky a nelze se absolutně poměřovat např. s kolegy z MATFYZ, ale každý je odborník na něco jiného.

Jj · 25. 06. 2014 10:42

↑ Zuzka Zajdová:

No, já jsem vycházel z toho, že jste ve škole řešili jen rovnice s nulovou pravou stranou, čili že byste si
s navrhovaným postupem poradila. I když při konečné integraci $\int y' \d x$ by bylo nutno integrovat
per partes.

V případě "velmi speciální" pravé strany, která je konstantní, je postup kolegy ↑ Takjo:
určitě jednodušší.

Rešení by bylo součtem řešení rovnice $y''-4y'+5y=0$ a partikulárního integrálu, jehož odhad
by byl v tomto případě jednoduchý. Jen je to něco, s čímž jste se ve škole neseznámili.

Jinak - postup řešení je možno po krocích sledovat v programu MAW: Odkaz

Zuzka Zajdová · 27. 06. 2014 08:56

↑ Jj:

Dobrý den.

Děkuji Vám, stále s tím bojuji :-).

Toto mi vyjde, jak jsem popisovala na začátku: $y=C1e^{2x}cos(x)+C2e^{2x}sin(x)$

Ale co s tou pravpu stranou. Tam vyjde z $\int0dy = C$

Asi to bude veliká hloupost, ale byl by finální výsledek: $y=C1e^{2x}cos(x)+C2e^{2x}sin(x) - C$ ?

Honzc · 27. 06. 2014 13:17 — Editoval Honzc (27. 06. 2014 13:19)

↑ Zuzka Zajdová:
Výsledek máš dobře.
Ovšem není potřeba snižovat řád takové d.rovnice.
Charakteristická rovnice je:
$\alpha ^{3}-4\alpha ^{2}+5\alpha =0$
a tedy
$\alpha _{1}=0,\alpha _{2,3}=2\pm i$
Pak
$y=c_{1}e^{0x}+c_{2}e^{2x}\cos x+c_{3}e^{2x}\sin x=c_{1}+c_{2}e^{2x}\cos x+c_{3}e^{2x}\sin x$
neboť $e^{0x}=e^{0}=1$

Jj · 27. 06. 2014 13:32 — Editoval Jj (27. 06. 2014 13:35)

Zdravím ↑ Honzc:

Vidím, že jsem to víc domotal, než poradil. Díky za vstup a uvedení na správnou míru.

Zuzka Zajdová · 27. 06. 2014 14:16

↑ Jj:

Moc Vám všem děkuji.

Tak nakonec moje úvaha na začátku fóra s vytknutím byla správná, jen jsem neuvedla, že $\lambda _{1}=0$ , což vím.

Děkuji a už snad "nutnou" zkoušku zvládnu.

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2014 20:31

Diferenciální rovnice třetího řádu

#2 24. 06. 2014 20:54

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#3 24. 06. 2014 21:03

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#4 24. 06. 2014 21:11

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#5 24. 06. 2014 21:23

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#6 24. 06. 2014 21:55

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#7 24. 06. 2014 22:05

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#8 24. 06. 2014 22:36 — Editoval Jj (24. 06. 2014 22:37)

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#9 24. 06. 2014 22:45

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#10 25. 06. 2014 06:45

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#11 25. 06. 2014 10:42

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#12 27. 06. 2014 08:56

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#13 27. 06. 2014 13:17 — Editoval Honzc (27. 06. 2014 13:19)

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#14 27. 06. 2014 13:32 — Editoval Jj (27. 06. 2014 13:35)

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

#15 27. 06. 2014 14:16

Re: Diferenciální rovnice třetího řádu

Zápatí