Matematické Fórum

Jencek · 27. 07. 2014 20:52 — Editoval Jencek (27. 07. 2014 20:54)

Ahoj :)

Mám integrál a nevím přesně jakou substituci použít, zda za to cos^2 dát úhel, nebo tam dát substituci tg x/2. Prosím o radu. Děkuji ;)

$\int_{\sin (x) / 2 + \cos ^2 (x)}^{}$

Bati · 27. 07. 2014 21:10

Ahoj,
pokud je integrand $\frac{\sin{x}}{2+\cos^2x}$ , využil bych toho, že $\frac{d}{dx}\cos{x}=-\sin{x}$ .

Jencek · 27. 07. 2014 21:17

↑ Bati:

takže, když dosadím sin x / 2^

$\sin (x) / (2+t^2) * 1/\sin (x)= 1/ 2+t^2 = 1/2 \ln (2+t^2) + c$

ten ln je možná špatně :( nejsme si jistý ;)

Bati · 27. 07. 2014 22:11

marnes napsal(a):
je čitatel derivací jmenovatele

To ale není. V primitivní funkci bude arkustangens, ne logaritmus.

marnes · 27. 07. 2014 22:20

↑ Bati:
Děkuji za opravu

Jencek · 27. 07. 2014 23:00 — Editoval Jencek (28. 07. 2014 02:14)

↑ marnes:

Mohl by si prosím napsat, jak myslíš ten arctg? ;) Nějak jsme se v tom ztratil :)

Prosím o kontrolu jednoho příkladu:

Ve výsledcích je:

$-1/\text{tg}x/2$

Mně to ale vyšlo poněkud jinak :(

$\int1/1-cos (x)*1+cos^2 (x)/1+cos^2 (x)=\int1+cox^2 (x)/sin^2 (x)= \int1/^2 (x) +\int cos (x)/sin^2(x)$ =>

=> $-cotg (x) + \int cos(x)/sin^2 (x)$

Substituce:

sin (x) = t
cos (x) dx = dt
dx= dt/cos (x)

= $-cotg (x) + \int dt/t^2=-cotg (x) -1/t+c$

=> $-cotg (x) + \int dt/t^2=-cotg (x) -1/sin (x)+c$

ale podle výsledku v učebnici to je bohužel jinak, nevím, jestli je špatný postup nebo nějaká operace ....

Děkuji za radu ;)

jelena · 28. 07. 2014 09:11 — Editoval jelena (28. 07. 2014 10:45)

↑ Jencek:

Zdravím,

pro $\frac{1}{ 2+t^2}=$ vytknout 2 ve jmenovateli $(2+t^2)$ a drobná substituce, kterou uvidíš po úpravě.

Prosím o kontrolu jednoho příkladu:

na nový dotaz si, prosím, založ nové téma viz pravidla. Zápis je ale dost nerozluštitelný. Zlomky zapisuj, prosím, tak: \frac{citatel}{jmenovatel}. Také před vložením dotazu ještě prozkoušej postup v MAW - viz úvodní téma sekce. Děkuji.

Jencek · 28. 07. 2014 12:39

↑ jelena:

Ano pokud udělám ten Arctg, tak mě to vede na:

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{t^2}{2^2}} = \frac{1}{2}Arctg\frac{t}{2}$

za t potom dosadíme substituci takže t = cosx myslím, ale ve výsledku jim to háže ty dvojky pod odmocninou, nevím z jakého důvodu :(

Děkuji za radu ;)

jelena · 28. 07. 2014 13:18

↑ Jencek:

dobré je překontrolovat, zda zpětným násobením $2$1+\frac{t^2}{2^2}$$ dostaneš $(2+t^2)$ (pokud ne, tak hledej, prosím, chybu).

misaH · 28. 07. 2014 13:32

↑ Jencek:

Veď si to zderivuj, možno je to dobre.

jelena · 28. 07. 2014 14:23

↑ misaH:

Zdravím Vás, pokud je to doporučení k 2. integrálu (který kolega má vložit do nového tématu), tak lepší překontrolovat úpravy hned na úvod. Kolega řeší $\int\frac{1}{1-\cos (x)}\d x$ .
Chce zlomek rozšířit, ale to rozšíření neprovádí vhodně. Vhodnější je použit na jmenovatel přepis $\cos (x)$ na poloviční úhel (x/2) a k tomu náhradu 1. Souhlasíte? Děkuji.

Cheop · 28. 07. 2014 14:39

↑ jelena:
Zdravím:-)
Ano to by mohlo jít a pak substituce za x/2 a dostaneme "tabulkový" integrál.

jelena · 28. 07. 2014 15:11

↑ Cheop:

Také pozdrav :-)

Úplně ideální by bylo, pokud by kolega Jencek téma rozdělil a (pokud ještě nedokontroloval v MAW) v novém tématu při přepisu odstranil nejasné zápisy a překlepy. Pokud projdeš řešení ↑ příspěvku 7:, kolega to myslí dobře, ale nedobře provádí, dokončuje dobře. Ovšem v jeho úpravě se bude hůř hledat shoda s výsledkem v knize, jelikož bude potřebovat ještě použit další úpravy.

Rumburak

Ahoj vespolek.

Toto rozsáhlé vlákno o ne příliš těžkém integrálu dokládá, že v letních vedrech se matematice příliš nedaří :-) .

K výsledku se snadno dostaneme substitucemi $t = \cos x$ (tedy $\d t = - \sin x \d x$ ) a $t = \sqrt{2}\cdot u$ ,
které postupně dávají

$\int \frac {\sin x}{ 2 + \cos^2 x} \d x = -\int \frac {\d t}{ 2 + t^2} = -\int \frac {\sqrt{2}\cdot\d u}{ 2 +2u^2} = \\=- \frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac {\d u}{ 1 +u^2} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan u = - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\cos x}{\sqrt{2}}$ .

(Integrační konstantu jsem si dovolil vynechat).

jelena · 28. 07. 2014 19:40

kolega Rumburak napsal(a):
(Integrační konstantu jsem si dovolil vynechat).

:-) okouzlující prázdninová ležérnost.

kolega Rumburak napsal(a):
Toto rozsáhlé vlákno o ne příliš těžkém integrálu

o dvou ne příliš těžkých integrálech. Ten druhý je vyčleněn tam. Také zdravím.

Matematické Fórum

#1 27. 07. 2014 20:52 — Editoval Jencek (27. 07. 2014 20:54)

Integrál pomocí substituce

#2 27. 07. 2014 21:10

Re: Integrál pomocí substituce

#3 27. 07. 2014 21:17

Re: Integrál pomocí substituce

#4 27. 07. 2014 22:04 Příspěvek uživatele marnes byl skryt uživatelem marnes. Důvod: špatně

#5 27. 07. 2014 22:11

Re: Integrál pomocí substituce

marnes napsal(a):

#6 27. 07. 2014 22:20

Re: Integrál pomocí substituce

#7 27. 07. 2014 23:00 — Editoval Jencek (28. 07. 2014 02:14)

Re: Integrál pomocí substituce

#8 28. 07. 2014 09:11 — Editoval jelena (28. 07. 2014 10:45)

Re: Integrál pomocí substituce

#9 28. 07. 2014 12:39

Re: Integrál pomocí substituce

#10 28. 07. 2014 13:18

Re: Integrál pomocí substituce

#11 28. 07. 2014 13:32

Re: Integrál pomocí substituce

#12 28. 07. 2014 14:23

Re: Integrál pomocí substituce

#13 28. 07. 2014 14:39

Re: Integrál pomocí substituce

#14 28. 07. 2014 15:11

Re: Integrál pomocí substituce

#15 28. 07. 2014 17:14 — Editoval Rumburak (29. 07. 2014 09:34)

Re: Integrál pomocí substituce

#16 28. 07. 2014 19:40

Re: Integrál pomocí substituce

kolega Rumburak napsal(a):

kolega Rumburak napsal(a):

Zápatí