Matematické Fórum

Alezi · 08. 08. 2014 22:20

Dobrý den.
Chci poprosit o radu ohledně D. rovnic.Narazil jsem na zakladni příklad
$\frac{\mathrm{d} x }{\mathrm{d} }+2x=-9t\mathrm{e}^{-t}$
ˇřešení teto rovnice se skládá z homogenního řešení a partikulárního řešení.V čem mám problém je určení partikulárního řešení.V literatuře je uvedeno P.Ř $w(t)=(at+b)\mathrm{e}^{-t}$
A bohužel nevím jak se mám dostat k $(at+b)\mathrm{e}^{-t}$
Děkuji

Blackflower

↑ Alezi: Ahoj,
ja by som povedala, že je to preto, lebo pravá strana, ktorú máš v zadaní, zodpovedá tvaru partikulárneho riešenia $(at+b)\mathrm{e}^{-t}$ , konkrétne $a=-9$ , $b=0$ .
My hľadáme riešenie v obdobnom tvare, nemusí to byť zrovna to, čo som napísala, koeficienty $a$ , $b$ by sa prípadne dourčili podľa počiatočných podmienok.

Formol · 08. 08. 2014 22:40

↑ Alezi:
Ahoj,
použij hrubou sílu;-)

zderivuj:

Dosaď to do nehomogenní rovnice. Uvidíš, že exponenciálou půjde podělit obě strany rovnice, takže nebude překážet a máš rovnost polynomů. Z té už snadno dopočítáš koeficienty..
_________________________

Pokud je tvoje otázka míněna, jakým sakra kouzlem dostali ten odhad, tak to je také poměrně jednoduché. Všimni si, že pravá strana má tvar součinu polynomu a exponenciály. Představ si, co se stane, když budeš takovou funkci s polynomem stupně n derivovat:

kde P, Q, R jsou nějaké polynomy (stupně uvedeného v indexu). Tedy jinými slovy, tato funkce při derivování nemění řád toho polynomu.

Jestliže je v rovnici na pravé straně polynom stupně jedna, tak aby rovnost platila, musíš na levé straně předpokládat také polynom stupně jedna. No a pak jen určíš jeho koeficienty postupem uvedeným výše (pro rovnice vyšších řádů a pro delší polynomy je to práce jak na kostele...).

Bati · 09. 08. 2014 11:26

Ahoj ↑ Alezi:.
Kromě metod odhadování, zmíněných výše, lze také postupovat čistě mechanicky a použít obecný postup. Charakteristický polynom příslušné homogenní rovnice je $\lambda+2$ , takže homogenní řešení je $e^{-2t}$ . Zbývá použít variaci konstant.

Alezi · 09. 08. 2014 15:55

↑ Formol:
Díky za pomoc.
jestli jsem to dobře pochopil tak v uvedeném příkladě je $-9t$ je t stupeň polynomu 1 .A proto použije $(At+b)$
Kdyby bylo $-9t^2$ tak už je to druhý stupeň a vztah by vypadal $(at^2+bt+c)$
Ještě bych tě chtěl poprosit jestli by si mu trochu osvětlil výpočet hodnot $a,b$
Po určení partikulárního řešení $w(t)=(at+b)\mathrm{e}^{-t}$ provedu derivaci w(t).
A dosadím za $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(t)+2x$ $\Rightarrow$ $(a-at -b)\mathrm{e}^{-t} -2(at+b)\mathrm{e}^{-t}$
$(a-3at-3b)\mathrm{e}^{-t}=-9t\mathrm{e}^{-t}$
$a=3$ protože vycházím z $-3at=-9t$ .
a podle řešení v publikaci $b=1$
A v tom mám další problém, nevím jak přišel na hodnotu b=1.

Alezi · 09. 08. 2014 16:03

↑ Bati:
díky.
Tohle je první postup ze skript na který jsem narazil.Postupem času určitě dojdu k dalšímu.Sice je to asi zbytečné,ale rád bych se pokusil naučit se všechny postupy řešení.

Formol · 09. 08. 2014 22:13

↑ Alezi:
Neboj se rozepisovat si výpočet krok po kroku. Těch několik vteřin a trochu více popsaného papíru ti může ušetřit hodiny hledání chyby nebo nervy z opakování zkoušky;-)
Rovnici

vydělíš exponenciálou (měl bys umět zdůvodnit, proč to můžeš udělat). Tím dostaneš:

Protože jde o rovnost polynomů, musí patit rovnost koeficientů u jednotlivých mocnin proměnné t:

Tedy soustava dvou rovnic, která má řešení a=3 a b=1.

Matematické Fórum

#1 08. 08. 2014 22:20

Diferenciální rovnice-Metoda Odhadu

#2 08. 08. 2014 22:25 — Editoval Blackflower (08. 08. 2014 22:28)

Re: Diferenciální rovnice-Metoda Odhadu

#3 08. 08. 2014 22:40

Re: Diferenciální rovnice-Metoda Odhadu

#4 09. 08. 2014 11:26

Re: Diferenciální rovnice-Metoda Odhadu

#5 09. 08. 2014 15:55

Re: Diferenciální rovnice-Metoda Odhadu

#6 09. 08. 2014 16:03

Re: Diferenciální rovnice-Metoda Odhadu

#7 09. 08. 2014 22:13

Re: Diferenciální rovnice-Metoda Odhadu

Zápatí