Matematické Fórum

Grimbor · 21. 02. 2009 18:33

Zdravím.

Potřeboval bych pomoci s tímto příkladem. Mám dokázat pomoci mat. indukce že:

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\forall%20n%20\in%20%20N%3A%203^n%20%20\ge%201%20%2B%202n%20%3B$

Jak se dělá důkaz pomocí indukce docela chápu, ale nějak si to stále nedokážu urovnat u téhle nerovnice.

Postupoval jsem klasicky, nejdřív jsem to dokázal pro n = 1.
Poté jsem provedl implikaci
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=V(k)%20\rightarrow%20V(k%2B1)%2C%20k\in%20N$

Nu a dostal jsem se k nějaké takové formě:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a^{k%2B1}%20\ge%201%20%2B%202k%20%2B%202$

Jak dál však nevím .. jestli jen nějaká úprava, která to dokáže, nebo jiný postup?
Budu rád za jakoukoliv radu a také osvětlení, proč tomu tak je..

lukaszh · 21. 02. 2009 18:43

↑ Grimbor:
Nebudem tu vypisovať celú indukciu, z indukčného predpokladu platí
$3^k\ge1+2k,\;k\in\mathbb{N}$
Uvažujem V(k+1) a upravím si to:

Pôvodný predpoklad prenásobím troma, čím sa nič nezmení a dostanem nerovnosť:

Teraz stačí ukázať, že
$3+6k\ge2k+3$
Takže tak...

marnes · 21. 02. 2009 18:45

↑ Grimbor:
3^n+1>=1+2n+2
3^n*3>=3+2n
3^n>=1+2/3n Jestlize tedy plati, ze 3^n>=1+2n, tak musi platit 3^n>=1+2/3n

jarrro · 21. 02. 2009 18:48 — Editoval jarrro (19. 03. 2018 23:45)

$3\geq 3\nl 3^{n+1}\geq 3$1+2n$\nl 3$1+2n$\geq 1+2$n+1$\nl 3+6n\geq 1+2n+2\nl 6n\geq 2n\nl 4n\geq 0$

Grimbor

Omlouvám se za hloupou otázku, pokud mi uniká nějaké elementární úprava...
ale nějak nemohu přijít nato, jak sem se tedy tím vynásobením 3ma dostal k téhle podobě??

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%203%2B6k\ge%202k%2B3$

EDIT: Už to asi chápu ... nejdřív si vytvořím tu implikovanou formu k+1 ... poté si tu puvodni formu roznásobim na obou stranách 3ma, tudíž ji nezměním, ale převedu ji do tvaru kdy máme stejné leve strany rovnice u obou forem ... nu a poté ukážu že pravá strana (k+1) formy je větší než ta puvodni ..

EDIT2: ještě jsem si našel tohle výborne video
Mathematical Induction for Inequality
, a je mi to naprosto jasné ..
Děkuji všem zůčastněným za pomoc a ochotu!

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2009 18:33

Důkaz pomocí indukce 3^n >= 1 + 2n

#2 21. 02. 2009 18:43

Re: Důkaz pomocí indukce 3^n >= 1 + 2n

#3 21. 02. 2009 18:45

Re: Důkaz pomocí indukce 3^n >= 1 + 2n

#4 21. 02. 2009 18:48 — Editoval jarrro (19. 03. 2018 23:45)

Re: Důkaz pomocí indukce 3^n >= 1 + 2n

#5 21. 02. 2009 19:12 — Editoval Grimbor (21. 02. 2009 21:23)

Re: Důkaz pomocí indukce 3^n >= 1 + 2n

Zápatí