Matematické Fórum

TaiTD · 29. 09. 2014 17:22 — Editoval TaiTD (29. 09. 2014 17:26)

Dobrý den, ve škole jsme dostali za domácí úkol vypracovat nebo vyhledat důkaz vět o součinu a podílu absolutních hodnot reálných čísel. Bohužel, nebyl jsem schopen na internetu nic najít a nějak stále přemýšlím, jak s tím hnout. Děkuji za každou pomoc.

zdenek1 · 29. 09. 2014 17:36

↑ TaiTD:
Odkaz

OT: nalezení odkazu mi trvalo celých 10 minut

TaiTD · 29. 09. 2014 17:50

↑ zdenek1:

Děkuji za odkaz. Pokud chápu správně, pod "Lemma 1" se skrývá důkaz pro součin? Jestli ano, pak nikde nevidím důkaz pro podíl. Děkuji za odpověď.

Freedy · 29. 09. 2014 17:55 — Editoval Freedy (29. 09. 2014 17:55)

Ahoj,

něco jako podíl je čistě vymyšlená věc, která nemá žádnou aplikaci. Podíl znamená násobení převrácenou hodnotou. Proto dokazovat jednu a tu samou věc pro x a 1/x nemá smysl. Až na to, že ve jmenovateli nesmí být nula :)

TaiTD · 29. 09. 2014 18:58

↑ Freedy:

Taktéž děkuji za odpověď. Ale furt si vrtám hlavu s tím odkazem od Zdeňka.

Bati · 29. 09. 2014 21:14

Ahoj ↑ TaiTD:,
můžeš taky postupovat úplně jinak s použitím faktu $|x|=\sqrt{x^2}\quad\forall x\in\mathbb{R}$ . Stačí pak využít vlastnosti odmocniny jako $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ apod., které se zase dají snadno dokázat z definic odmocniny a mocniny.

Rumburak

↑ TaiTD:

Ahoj.

Dokazujeme-li větu, bývá užitečné nejprve si ji přesně zformulovat. Zde např. :

Věta A. Jsou-li $a, b$ reálná čísla, potom $|a\cdot b| = |a|\cdot |b|$ .

Věta B. Jsou-li $a, b$ reálná čísla a $b \ne 0$ , potom $\left| \frac {a}{b}\right| = \frac {|a|}{|b|}$ .

Já bych postupoval pomocí definice absolutní hodnoty reál. č. Ta má dvě části:

(1) $x \ge 0 \Rightarrow |x| := x$ ,

(2) $x < 0 \Rightarrow |x| := -x$ .

Podle nich bych rozdělil na odpovídající části i důkazy výše uvedených vět. Například u důkazu věty A:

1. Pro $a \ge 0 , b \ge 0$ platí především $a = |a| , b = |b|$ dle (1) . Navíc je $ab \ge 0$ , takže potom
dle (1) také $ab = |ab|$ a tudíž .... (zkus doplnit) .

Obdobně v dalších případech. Můžeme i využít komutativního zákona pro součin.

Rumburak

↑ Freedy:

Ahoj.

Podíl $\frac{a}{b}$ pro $b \ne 0$ je - jak určitě víš - definován jako kořen rovnice $bx = a$ , speciálně $\frac{1}{b}$ je kořen
rovnice $bx = 1$ .

Pokud bychom chtěli v důkazu věty o absolutní hodnotě podílu využít již dokázanou větu o abs. hodnotě součinu,
je to samozřejmě možné pomocí vhodné substituce. Nebo zvlášť dokázat

(1) $\left| \frac{1}{b}\right| = \frac{1}{|b|}$

a pak aplkovat větu o součinu přímo. Tím jsem chtěl naznačit, že přechod od věty o součinu k větě o podílu je sice
velmi snadný, nicméně není to úplně tak, že by vůbec nebylo co dokazovat.