Matematické Fórum

inconnu · 04. 10. 2014 10:44

Zdravím,
mám určit objem tělesa ohraničeného sférou $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ , paraboloidem $x^{2}+y^{2}=3z$ a $x\ge 0$ .
Při použití cylindrických souřadnic mi vyšlo $3\pi$ .
Mám to vypočítat i pomocí sférických souřadnic.
Transformační souřadnice jsou:
$x=r\cos \psi \cos \varphi$ ,
$y=r\cos \psi \sin \varphi$ ,
$z=r\sin \psi$ .
Pak jsem si stanovil podmínky pro úhly:
$0<\psi <\frac{\pi }{2}$ ,
$-\frac{\pi }{2}<\varphi <\frac{\pi }{2}$ .
Ale nevím, jak stanovit podmínky pro r.
Myslím, že r bude od 0 do 2, ale bylo mi řečeno, že se to musí rozdělit nějak na dvě části:
od nuly po "paraboloid" a od nuly po "sféru".
Nevím, jak na to ale přijít, proto prosím o radu.

jelena · 05. 10. 2014 22:11

Ještě pozdrav, pokud ještě aktuální, potom řešením soustavy rovnic
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$
$x^{2}+y^{2}=3z$

najdeš předpis pro rovinu z, ve které je průsečík sféry a paraboloidu (kružnice), tedy pod touto rovinou se bude počítat objem nad paraboloidem, nad touto rovinou - pokračovat výpočtem objemu pod sférou (příklad 7 v odkazu, ale to už je asi jasné, když pomocí cylindrických je vypočteno). Tak snad ještě upřesní, co se nepodařilo rozdělit.

inconnu · 05. 10. 2014 22:20

A řešením soustavy je: $3z+z^{2}=4$ , ne?
To mi dá nějakou rovinu?
Kořeny této kvadr, rovnice jsou -4 a 1.
-4 neuvažujeme, čili ta rovina bude jako z=1 ???

jelena · 05. 10. 2014 22:27

↑ inconnu:

ano, v z=1 je průsečík sféry a paraboloidu, průsečíkem je kružnice, poloměr této kružnice lze zjistit z $x^{2}+y^{2}=3$

inconnu · 05. 10. 2014 22:35

Ano, poloměr je $\sqrt{3}$ .
Ale co dál?
To budu muset znát úhel, který svírá nějaká přímka procházející kterýmkoliv bodem té kružnice a počátkem?
Ten by byl $\frac{\pi }{6}$ .
A pak?

inconnu · 05. 10. 2014 22:43

Kdybych sestavil integrál
$\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\int_{r_1}^{r_2}r^{2}cos\psi drd\psi d\varphi + \int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{r_2}^{r_3}r^{2}cos\psi drd\psi d\varphi$ ,
tak jednak nevím, jestli je dobře, jednak teď ani nevím co dosadit za $r_1$ , $r_2$ a za $r_3$ .
$r_1$ je zřejmě 0
$r_2$ by mohlo být 2 a $r_3$ taky dva ???

jelena · 06. 10. 2014 20:42

↑ inconnu:

děkuji. Pokud se má řešit pouze ve sférických souřadnicích, tak rovinu společné kružnice použijeme jako pomocnou pro stanovení hraničního úhlu $\theta$ - u Tebe $\psi$ - tak? (a pokud ho bereme dle obrázku od osy z po ručičkám, tak by mi vyšel od $0$ do $\frac{\pi}{3}$ jelikož $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ ) - souhlasí to?

Potom meze pro $\rho$ bych stanovila dosazováním
$x=r\cos \psi \cos \varphi$
$y=r\cos \psi \sin \varphi$
$z=r\sin \psi$

do $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ (horní mez) a do $x^{2}+y^{2}=3z$ dolní mez.

Měli bychom jen jeden integrál (ale ještě překontroluj meze pro úhly, prosím).

inconnu · 07. 10. 2014 13:58

Tak postoupil jsem následovně:
Úhel $\varphi$ je vždy od $-\frac{\pi }{2}$ do $\frac{\pi }{2}$ .
Pak pro úhel $\psi$ (pro Vás úhel $\theta$ , kdy však já uvažuji úhel, který svírá spojnice bodu prostoru s počátkem s průmětem této spojnice do roviny z=0) platí, že je od 0 do $\frac{\pi }{6}$ a dále pak od $\frac{\pi }{6}$ do $\frac{\pi }{2}$ .
A nyní jsem určil podmínky pro r (u Vás zřejmě $\varrho$ ).
Pro $x^{2}+y^{2}=3z$ mi po dosazení transformačních rovnic vyšlo $r^{2}-3r=0$ , čili r je od nuly do 3.
Pro $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ mi po dosazení transformačních rovnic vyšlo $r^{2}=4$ , čili r je 2.
Když jsem se to pokusil dát nějak dohromady, tak jsem došel k:
$\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\int_{0}^{3}r^{2}cos\psi drd\psi d\varphi + \int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{2}^{2}r^{2}cos\psi drd\psi d\varphi$ , což mi však vyšlo $\frac{9\pi }{2}$ , tak nevím, kde mám ještě chybu (za předpokladu, že to má opravdu vyjít $3\pi$ ).
Nemůže být chyba v tom " $r^{2}cos\psi$ "?
A ještě se chci zeptat, jak jste psala, že bychom měli jen jeden integrál, k tomu jste dospěla jak? Jste věděla, že to druhé r je od 2 do 2, čili že druhý sčítanec bude 0, nebo to vyplývá z něčeho jiného?

jelena · 07. 10. 2014 15:36 — Editoval jelena (07. 10. 2014 15:44)

↑ inconnu:

děkuji, já jsem postupovala tak, že jsem zapsala nejdřív vzorec pro objem v kartezských souřadnicích (dxdydz), meze pro $z$ jsou nad paraboloidem $\frac{x^{2}+y^{2}}{3}=z$ pod horní polovinou sféry $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ a odsud jsem odvodila, že integrál je jen jeden.
Potom byla transformace do sférických.

inconnu napsal(a):
Pro $x^{2}+y^{2}=3z$ mi po dosazení transformačních rovnic vyšlo $r^{2}-3r=0$ , čili r je od nuly do 3.

tak mi nevyšlo, zkus dosadit ještě jednou, prosím. Transformace sféry mi vyšla stejně. S čím nejsem si jistá - s úhlem $\psi$ - mé odvození ↑ příspěvek 7:, tak kdyby někdo z kolegů pokritizoval, byla bych vděčná. Zdravím.

inconnu · 07. 10. 2014 20:23

OK, vyšlo mi $r^{2}-2r=0$ , tedy r je od nuly do 2, ne?
Pak ale $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\int_{0}^{2}r^{2}cos\psi drd\psi d\varphi$ mi vyšlo $\frac{4\pi }{3}$ .

jelena · 07. 10. 2014 22:58 — Editoval jelena (07. 10. 2014 23:12)

↑ inconnu:
mně to ale vychází tak:
$r^2\cos^2 \psi \cos^2 \varphi+r^2\cos^2 \psi \sin^2 \varphi=3r\sin \psi$
$r^2\cos^2 \psi =3r\sin \psi$
$r=\frac{3\sin \psi}{\cos^2 \psi}$

edit (a 0 do pi/6 to je v hodnotách r od 0 do 2, což by odpovídalo zadanému tělesu)

Jak to vidíš (výsledek $3\pi$ přes válcové nebo rozdělením tělesa na díly jsi kontroloval i ve WA)? Děkuji.

inconnu

Takže, po dlouhé době počítání jsem došel k následujícímu:

Zadání:

určit objem tělesa ohraničeného sférou $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ , paraboloidem $x^{2}+y^{2}=3z$ a $x\ge 0$ .

Nejprve jsem sestavil trojný integrál:
$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\int_{0}^{\sqrt{3-x^{2}}}\int_{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}dzdydx$
(Průmětem do roviny z=0 je kružnice o poloměru $\sqrt{3}$ , čili x je od $-\sqrt{3}$ do $\sqrt{3}$ , y je od 0 po vrchní oblouk kružnice a z je od paraboloidu po sféru.)

Pak jsem přešel k transformacím:
a) pomocí cylindrických souřadnic:
Transformační rovnice jsou:
$x=rcos\varphi$ ,
$y=rsin\varphi$ ,
$z=z$ .
Úhel $\varphi$ je od $-\frac{\pi }{2}$ do $\frac{\pi }{2}$ .
R je podle $r^{2}cos^{2}\varphi +r^{2}sin^{2}\varphi =3$ $\Rightarrow$ $r^{2}=3$ od nuly do $\sqrt{3}$ .
Z transformačních rovnic je zřejmé, že $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ , proto z je od $\frac{r^{2}}{3}$ po $\sqrt{4-r^{2}}$ .
Pak tedy:
$\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{\frac{r^{2}}{3}}^{\sqrt{r^{2}-4}}rdzdrd\varphi =\ldots =\frac{19}{12}\pi$ .

b)pomocí sférických souřadnic:
Transformační rovnice jsou:
$x=rcos\psi cos\varphi$ ,
$y=rcos\psi sin\varphi$ ,
$z=r\sin \psi$ .
Úhel $\varphi$ je od $-\frac{\pi }{2}$ do $\frac{\pi }{2}$ .
Úhel $\psi$ je od 0 do $\frac{\pi }{6}$ (proč? - "vizte" výše) a dále od $\frac{\pi }{6}$ po $\frac{\pi }{2}$ .
R je od 0 po paraboloid, tedy z $r^{2}\cos ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi + r^{2}\cos ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi=3r\sin \psi$ , tedy z $r^{2}\cos ^{2}\psi =3r\sin \psi$ je r po $\frac{3\sin \psi }{\cos ^{2}\psi }$ .
Dále je pak r od 0 po sféru, tedy po 2 (odvození také "vizte" výše).
Pak tedy:
$\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2} }\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\int_{0}^{\frac{3\sin \psi }{\cos ^{2}\psi }}r^{2}\cos \psi drd\psi d\varphi + \int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2} }\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{2}r^{2}\cos \psi drd\psi d\varphi = \ldots =\frac{19}{12}\pi$ .

Nevím ale, jestli je to správně, přesto Vám velmi děkuji za pomoc, ochotu, trpělivost a vytrvalost!!!

jelena · 08. 10. 2014 10:39

Zdravím a děkuji za přehledné zpracování (a za vytrvalost :-)). Moc bych ještě poprosila kolegy, aby to také zkontrolovali, předem děkuji.

Ode mne - jen k

čili x je od $-\sqrt{3}$ do $\sqrt{3}$ , y je od 0 po vrchní oblouk kružnice

tak by byla popsána polovina rotačního tělesa nacházející nad kvadranty I a II, dle zadání je požadavek $x\ge 0$ (tedy polovina, ale nad kvadranty I a IV), číselně by to vycházelo stejně, jen čistě formálně ve vztahu k zadání. Předem děkuji kolegům za další kontrolu.

inconnu

Jasně, ani jsem si to neuvědomil, "nahoře" jsem to tedy opravil.

PS:
Ještě jsem trochu zapátral po internetu a našel jsem vzorec pro výpočet objemu rotačního paraboloidu o výšce $v$ a poloměru podstavy $\varrho$ :
$V_{P}=\frac{1}{2}\pi \varrho ^{2}v$ .
V našem případě, kdy $v=1$ a $\varrho =\sqrt{3}$ , dostáváme $V_{P}=\frac{3}{2}\pi$ .

Dále můžeme použít vzorec pro výpočet objemu kulové úseče:
$V_{U}=\frac{\pi v}{6}(3\varrho ^{2}+v^{2})$ .
V našem případě, kdy $v=1$ a $\varrho =\sqrt{3}$ , dostáváme $V_{U}=\frac{5}{3}\pi$ .

Takže když sečteme oba objemy, měli bychom dostat dvojnásobek našeho požadovaného objemu.
Tedy $V_{P}+V_{U}=\frac{3}{2}\pi +\frac{5}{3}\pi =\frac{19}{6}\pi$ , což je opravdu $2\cdot \frac{19}{12}\pi$ .

Takže by to mělo být správně.

inconnu

Ještě jsem narazil na jeden problém:
Jak jsem napsal, že jsem sestavil trojný integrál:
$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\int_{0}^{\sqrt{3-x^{2}}}\int_{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}dzdydx$ , tak jsem si všiml, že nesplňuje podmínku $x\ge 0$ .
A tím jsem přišel na to, že vlastně nechápu, proč v Example 7 mají " $\int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}}dy$ ", když oni počítají objem celého toho tělesa, tak proč tam nemají třeba $\int_{-\sqrt{2-x^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}}}dy$ . Já vím, že pak $\varrho$ musí být $\ge 0$ , ale kde by se jim tam tedy projevilo, kdyby počítali jen polovinu objemu (kromě toho, že konkrétně v tomto případě se dá zřejmě vypočítat objem celého tělesa a ten pak vydělit 2) a kromě toho, že pak v cylindrických souřadnicích se to projeví v úhlu??? Ale teď mi jde o ten "klasický" integrál...

jelena · 08. 10. 2014 20:40

↑ inconnu:

tak to je výborné, že jsi se zaměřil i na ověření přes geometrii, tomu už bychom mohli věřit celkem spolehlivě.

A tím jsem přišel na to, že vlastně nechápu, proč v Example 7 mají " $\int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}}dy$ ", když oni počítají objem celého toho tělesa,

já bych řekla, že v tomto zápisu není shoda s dalším výpočtem (po transformaci), jelikož v transformaci již používají úhel $2\pi$ , což "protočí" celý kruh, ale před transformaci mají jen půlkruh. Můžeš porovnat se zápisem mezí v 1. příkladů úplně nahoře, nebo číselné výsledky - jejich závěrečný výsledek je dvojnásobný oproti "před transformaci" - ale to jsem ověřovala vložením jejích původních mezí tady. Případně to ještě porovnej přes geometrii.

Děkuji za velmi aktivní přístup.

inconnu

OK, rozumím už všemu!
Ještě jednou !!!děkuji!!! za vše a téma už považuji za uzavřené a vyřešené.

jelena · 08. 10. 2014 23:44

↑ inconnu: děkuji za zprávu.

Matematické Fórum

#1 04. 10. 2014 10:44

Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#2 05. 10. 2014 22:11

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#3 05. 10. 2014 22:20

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#4 05. 10. 2014 22:27

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#5 05. 10. 2014 22:35

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#6 05. 10. 2014 22:43

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#7 06. 10. 2014 20:42

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#8 07. 10. 2014 13:58

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#9 07. 10. 2014 15:36 — Editoval jelena (07. 10. 2014 15:44)

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

inconnu napsal(a):

#10 07. 10. 2014 20:23

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#11 07. 10. 2014 22:58 — Editoval jelena (07. 10. 2014 23:12)

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#12 08. 10. 2014 01:26 — Editoval inconnu (08. 10. 2014 14:07)

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#13 08. 10. 2014 10:39

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#14 08. 10. 2014 10:50 — Editoval inconnu (08. 10. 2014 14:29)

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#15 08. 10. 2014 12:03 — Editoval inconnu (08. 10. 2014 13:51)

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#16 08. 10. 2014 20:40

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#17 08. 10. 2014 21:30 — Editoval inconnu (08. 10. 2014 21:40)

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

#18 08. 10. 2014 23:44

Re: Trojný integrál - objem tělesa - sférické souřadnice

Zápatí