Matematické Fórum

inconnu · 30. 09. 2014 20:44

Zdravím,
potřeboval bych poradit, kde mám chybu.
Mám spočítat objem tělesa ohraničeného:
$y=\sqrt{x}$
$y=2\sqrt{x}$
$z=0$
$x+z=6$

Potřebuji sestavit:
$\int_{0}^{2\sqrt{6}}\int_{}^{}\int_{}^{} dzdxdy$

Nevím, jestli ten vnější integrál je správně a ty vnitřní nevím, jak sestrojit, ať se pokusím, jak se pokusím, vždy mi to vyjde špatně.

Výsledek má být: $\frac{48\sqrt{6}}{5}$ .

Jj · 30. 09. 2014 22:27

↑ inconnu:

Dobrý den. Těleso je vymezeno válcovými plochami $y=\sqrt{x},y=2\sqrt{x}$ , rovinami $z=0, z = 6-x$ , kde $x \in \langle0,6\rangle$ , takže bych řekl, že

$V = \int_{0}^{6}\int_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}\int_{0}^{6-x}dzdydx$ nebo $V = \int_{0}^{6}\int_{0}^{6-x}\int_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}dydzdx$ .

inconnu · 30. 09. 2014 22:31

Děkuji.
Ano, oba dva návrhy jsou správné, ty také mám, ale já si chtěl zkusit sestrojit všech šest možných trojných integrálů. Mám "dxdydz", "dydxdz", "dzdydx", "dydzdx", ale nemůžu přijít na "dzdxdy", ani na "dzdxdy".

jelena · 01. 10. 2014 00:06

Zdravím,

nemůžu přijít na "dzdxdy", ani na "dzdxdy".

to zřejmě bude vyžadovat vyjádření $x=f(y)$ , tedy z $y=\sqrt{x}$ máme $x=y^2$ , obdobně druhé omezení. Toto ovšem povleče potřebu rozdělení obrazce v podstavě (v xOy) na 2 části, což nevidím moc efektivní. Jako vidí kolega ↑ Jj:?

↑ inconnu: tak jsi to představoval (zřejmě spíš pro procvičení)? Děkuji.

inconnu · 01. 10. 2014 06:46

Tak zkusil jsem toto:
$\int_{0}^{2\sqrt{6}}\int_{0}^{6-z}\int_{}^{}dzdxdy$
Ten "prostřední" integrál by měl záviset na ypsilon, čili zed je třeba vyjádřit pomocí ypsilon.
Tak když $y=\sqrt{x}$ , pak $x=y^{2}$ , odtud $y^{2}+z=6$ , čili $z=6-y^{2}$ .
Pak:
$\int_{0}^{2\sqrt{6}}\int_{0}^{6-y^{2}}\int_{}^{}dzdxdy$
Dělám to správně?
A ten vnitřní???

jelena · 01. 10. 2014 10:52

↑ inconnu:

děkuji, ale pokud je integrál po dz "úplně vnitřní" a jdu směrem ven dzdxdy, tak z je pořád v mezích $z=0, z = 6-x$ , x v mezích $x=y^{2}$ a $x=\frac{y^{2}}{4}$ , y v mezích $y=0$ až $y=\sqrt 6$ - to je první díl rozděleného obrazce. Ještě musím pokračovat na 2. díl, kde x v mezích $x=6$ a $x=\frac{y^{2}}{4}$ a y v mezích $y=\sqrt 6$ až $y=2\sqrt 6$ .

Ten obrázek si můžeš poskládat i jinak - od obsahu nad "velkou půlprabolou" odečíst obsah nad "malou půlparabolou". Tento obrázek je třeba otočit o 90 stupňů pro představu.

Ještě jsem si všimla, že zápis na "dzdxdy", ani na "dzdxdy". je totéž. Jinak zde jsou pěkné obrázky pro představu oblastí (u dvojného se podívej na to, co diskutujeme v základně), potom na trojný, ale pokud si vzpomínám měli nějaké překlepy v zápisech.

inconnu · 01. 10. 2014 11:12

Aha, asi překlep. Měl jsem na mysli: "dxdzdy" ani "dzdxdy".
Zkusím na to ještě mrknout, třeba to už pochopím.

inconnu · 01. 10. 2014 12:27

Takže ten "dzdxdy" je tedy:
$\int_{0}^{\sqrt{6}}\int_{\frac{y^{2}}{4}}^{y^{2}}\int_{0}^{6-x}dzdxdy+\int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{6}}\int_{\frac{y^{2}}{4}}^{6}\int_{0}^{6-x}dzdxdy=\ldots =\frac{48\sqrt{6}}{5}$ .
No a když chci ještě ten "dxdzdy", tak to také rozdělím na dva? Čili takto:
$\int_{0}^{\sqrt{6}}\int_{}^{}\int_{\frac{y^{2}}{4}}^{y^{2}}dxdzdy+\int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{6}}\int_{}^{}\int_{\frac{y^{2}}{4}}^{6}dxdzdy$ ?
Ty prostřední by byly od 0 do 6-x, ale zase nesmí záviset na x, ne?

inconnu · 04. 10. 2014 10:48

Ten "dxdzdy", stačí ho rozdělit na dvě části, nebo se musí rozdělit na více částí???

jelena · 05. 10. 2014 21:37

↑ inconnu:

Zdravím,

na téma jsem nezapomněla, nedostala jsem se k tomu ale pořádně dřív. Z příspěvku ↑ č. 8: rozumím, že dosud prodiskutovanou část jsi zvládl a výsledek souhlasí. Pokračuješ však v další změně pořadí integrace dxdzdy

No a když chci ještě ten "dxdzdy", tak to také rozdělím na dva? Čili takto:
$\int_{0}^{\sqrt{6}}\int_{}^{}\int_{\frac{y^{2}}{4}}^{y^{2}}dxdzdy+\int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{6}}\int_{}^{}\int_{\frac{y^{2}}{4}}^{6}dxdzdy$

V předchozích pořadích, kdy jsme měli "úplně vnitřní" integrál po dz, tak jsme uvažovali, že v podstavě je obrazec v rovině xOy (jen jsme měnili náhled). Teď ale bychom potřebovali za normálovou rovinu považovat yOz a těleso "postavit nad tuto rovinu, tedy
$\int_{a}^{b}\int_{z_1(y)}^{z_2(y)}\int_{x_1(y, z)}^{x_2(y, z)}\d x\d z\d y$

meze jsem označila potřebné funkce. Ale nedaří se mi sestavit předpisy funkcí tak, aby popsala těleso pro výpočet objemu (i za předpokladu, že budeme dělit na díly). Tak bohužel, s tím neporadím, snad někdo z kolegů (rozuměno, že jde spíš o doplňující názor na výpočet, než o samotný výpočet objemu, ten je již opakovaně vypočten). Kolegům děkuji.

inconnu · 05. 10. 2014 21:46

↑ jelena:

Mnohokrát děkuji za vše!!!
Jde prostě jen o to, že jsme si měli dobrovolně (za DÚ) zkusit sestavit všech šest možných integrálů, abychom se to naučili a vypočítat je, abychom se přesvědčili o správnosti výsledku a abychom si procvičili integrování.
Jsem rád, že se mi podařilo sestavit i s Vaší pomocí aspoň těch pět. Tím to pro mě více méně končí.

Ještě jednou děkuji za cenné rady!

jelena · 05. 10. 2014 22:15

↑ inconnu:

není za co (sleduji, že bych mohla více recyklovat :-)). Ještě kolegovi Jj děkujeme. Samotnou by mne zajímalo, jak budou meze a funkce pro poslední variantu (ale dobře, že nehoří).

inconnu · 05. 10. 2014 22:18

Což já věděl o tom tématu, ale otázku jsem měl "jinou", tak jsem založil nové téma. (I když příště možná bude lepší pokračovat v tom započatém...) Takže se omlouvám.

jelena · 05. 10. 2014 22:29

↑ inconnu:

to raději ne, v započatém určitě nepokračovat, to se špatně čte a je nepřehledné, lepší nové téma + odkaz na jiné, pokud se nějak používá.

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2014 20:44

Objem tělesa - trojný integrál

#2 30. 09. 2014 22:27

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#3 30. 09. 2014 22:31

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#4 01. 10. 2014 00:06

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#5 01. 10. 2014 06:46

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#6 01. 10. 2014 10:52

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#7 01. 10. 2014 11:12

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#8 01. 10. 2014 12:27

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#9 04. 10. 2014 10:48

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#10 05. 10. 2014 21:37

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#11 05. 10. 2014 21:46

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#12 05. 10. 2014 22:15

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#13 05. 10. 2014 22:18

Re: Objem tělesa - trojný integrál

#14 05. 10. 2014 22:29

Re: Objem tělesa - trojný integrál

Zápatí