Matematické Fórum

Jakub1 · 10. 10. 2014 20:49

Dobrý večer, mohol by sa mi niekto pozrieť na moje riešenie nasledovného príkladu? Vôbec si nie som istý. Prípadne by ste mohli navrhnúť jednoduchší postup.

"V depe je 5 lôžkových, 7 jedálenských a 20 obyčajných/osobných vagónov. Koľko súprav s 5 vagónmi môžem vytvoriť, ak A) záleží na poradí vagónov; b) nezáleží na poradí vagónov. Vagóny z jednej kategórie sú všetky rovnaké, teda ich nemožno rozlíšiť."

Moje riešenie:

a) Musí platiť diofantická rovnica $x+y+z=5; x,y,z\in \mathbb{N}^0$ , kde $x$ je počet lôžkových, $y$ jedálenských a $z$ osobných. Táto rovnica má práve 21 riešení – usporiadaných trojíc, pretože $C’(3,5)=21$ .

Teda ak mám napríklad riešenie $[0,0,5]$ , tak počet možností je: $C(20,5)$ ; ak $[0,1,4]$ , potom $C(7,1)\cdot C(20,4)\cdot \frac{5!}{4!\cdot1!}$ ; ak $[1,2,2]$ , tak $C(5,1)\cdot C(7,2)\cdot C(20,2)\cdot \frac{5!}{2!\cdot2!\cdot1!}$ , atď... Celkové riešenie je potom suma-sumárum všetkých takýto riešení? (Nebudem to vyjadrovať číselne, ale ide mi o princíp riešenia, je správny?)

b) Rovnaká úvaha ako v a), ale budem iba vyberať z usporiadaných trojíc, nebudem ich permutáciami zoraďovať. Teda, pre $[1,3,1]$ bude počet možností $C(5,1)\cdot C(7,3)\cdot C(20,1)$ , atď... Celkové riešenie je opäť suma-sumárum všetkých takýchto parciálnych riešení.

Sú moje úvahy a riešenia správne? Vedel by niekto postupovať jednoduchšie? Ďakujem.

jelena · 11. 10. 2014 15:00

Zdravím,

jednodušší (?) řešení je přímo použití kombinatoriky s opakováním - viz kolega Zdeněk. Ale kolega LukášM. před časem ukázal, proč není dobré jen použití vzorců (a Tvá úvaha i tomu přístupu odpovídá), tak přesunu do zajímavých, zda by někdo z kolegů nepodiskutoval přímo nad Tvou úvahou. Děkuji.

Jakub1 · 11. 10. 2014 16:39

Zdravím,

podľa mňa je táto úloha zadaná celkom vágne. Čo si o nej myslíte?

Otázkou ostáva, či nám ide len o vybratie 5 vagónov z nejakého dostatočného počtu vagónov (vtedy sa uplatní kombinatorika s opakovaním – nezáleží nám na výbere z jednotlivých množín) alebo nám záleží aj na výbere z jednotlivých množín vagónov (teda nám záleží aj na tom, koľko máme možností výberu $k$ vagónov z $n$ ). Prípadne do akej miery môžeme považovať 2 vagóny za rovnaké z fyzikálneho aj z filozofického hľadiska. Teraz sa táto úloha stáva skôr filozofickou ako matematickou, pretože matematické hľadisko sa stáva triviálnejším ako filozofické.

jelena · 11. 10. 2014 17:14

↑ Jakub1:

Také pozdrav,

že vagony v množině "stejných vagonů" jsou stejné, to je v zadání:

Vagóny z jednej kategórie sú všetky rovnaké, teda ich nemožno rozlíšiť."

zde bych nenašla důvod pro nejasnost. Máme soubor LLLLL, JJJJJJJ, VVVV...VV (stejně tak můžeme mít barevné (ale jinak nerozlišitelné) kuličky - 5 bílých, 7 zelených, 20 červených). Jediné upřesnění (nebo čeho si všimnout), které by bylo potřeba, že není požadavek, aby v soupravě byl od každého typu vagonu alespoň jeden. Tedy souprava LLLLL je v pořádku (atd.).

Diskuse s kolegy ale bude více užitečná.

Matematické Fórum

#1 10. 10. 2014 20:49

Kombinatorika

#2 11. 10. 2014 15:00

Re: Kombinatorika

#3 11. 10. 2014 16:39

Re: Kombinatorika

#4 11. 10. 2014 17:14

Re: Kombinatorika

Zápatí