Matematické Fórum

kulicka · 17. 10. 2014 14:57

Ahoj, potřebuju pomoct s následujícím příkladem:

Kolika způsoby lze rozesadit kolem kulatého stolu šest studentů (po dvou ze tří různých škol) tak, aby žádní dva spolužáci neseděli vedle sebe? (Rozesazení, která na sebe přejdou pootočením stolu, považujeme za stejná.)

studenty označím AA BB CC - podle fakult.
počet včech možností rozesazení: $6!$
$|A|$ ... množina, kde AA sedí vedle sebe... studenti jsou rozlišitelní, takže je označím $A_1$ a $A_2$
$...A_1A_2...$ takových možností je $5!$
$...A_2A_1...$ takových možností je teky $5!$

$|A|=5!+5!=2 \cdot 5!$
U $|B|$ a $|C|$ je to stejně $|A|=|B|=|C|=5!+5!=2 \cdot 5!$

$|A \cap B|$
4 možné kombinace
$A_1A_2$ a $B_1B_2$
$A_1A_2$ a $B_2B_1$
$A_2A_1$ a $B_1B_2$
$A_2A_1$ a $B_2B_1$

U každéé kombinace $4!$ možností, celkem tedy $|A \cap B| = 4 \cdot 4!$ U dalších je to stejně, takže $|A \cap B|=|B \cap C|=|A \cap C|= 4 \cdot 4!$

$|A \cap B \cap C|$
8 možností
$A_1A_2$ a $B_1B_2$ a $C_1C_2$
$A_1A_2$ a $B_1B_2$ a $C_2C_3$

$A_1A_2$ a $B_2B_1$ a $C_1C_2$
$A_1A_2$ a $B_2B_1$ a $C_2C_3$

$A_2A_1$ a $B_1B_2$ a $C_1C_2$
$A_2A_1$ a $B_1B_2$ a $C_2C_3$

$A_2A_1$ a $B_2B_1$ a $C_1C_2$
$A_2A_1$ a $B_2B_1$ a $C_2C_3$

U každé možnosti 3! způsobů, celkem $|A \cap B \cap C|=8 \cdot 3!$

$|A \cup B \cup C|=3 \cdot (2 \cdot 5!)-3 \cdot (4 \cdot 4!)+8 \cdot 3!=480$

Řešením by mělo být $6!-|A \cup B \cup C|= 6!-480=240$ . Podle výsledků to má však být 32. Kde je má úvaha špatná?

Formol · 17. 10. 2014 15:28

↑ kulicka:
Zdravím,
podle zadání to vypadá spíše tak, že máš každé škole "přidělit dvě židle" a je už jedno, kdo kde sedí. Tedy řekl bych, že z pohledu úlohy jsou žáci nerozlišitelní.

kulicka · 17. 10. 2014 15:53

↑ kulicka:
Hele a to si pochopil ze zadání nebo až z mého postupu, který je správný (?) a toho, že výsledky nesedí.

Protože student je snad vždy rozlišitelný (nějak vypadá, má jméno, ...) třeba od takových kuliček, kde je jedna jako druhá a je fuk, kterou si vyberu.

Formol · 17. 10. 2014 17:07

↑ kulicka:
To jsem pochopil ze zadání, jde o rozsazení podle škol, ne podle toho, kde je Petr a kde Pavel. Je chybou si do zadání něco domýšlet, protože je to "filozoficky správně";-)

kulicka · 17. 10. 2014 19:31

↑ Formol:
No, OK ;-)

zdenek1 · 17. 10. 2014 19:40

↑ kulicka:
špatně je hned

počet včech možností rozesazení: $6!$

Dál už jsem to nečetl.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

kulicka · 17. 10. 2014 19:52

↑ zdenek1:
Ano, vzhledem k rozdílnému chápání úlohy.

Pokud je to tak jak píše ↑ Formol:, tak je to
$P(2;2;2)=\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!}$

Lepší?

zdenek1 · 17. 10. 2014 19:55

↑ kulicka:
Nikoli, je to tak, jak píseš ty. Ve všech civilizovaných zemích jsou lidé rozlišitelní.

Do příspěvku #6 jsem přidal řešení

kulicka · 17. 10. 2014 19:58

↑ zdenek1:
Já jsem si to taky myslela, no. Tak snad to tak bude...

Můžeš ke svému řešení prosím přidat nějaký komentář. Nějak tomu nerozumím. Předem dík.

zdenek1 · 17. 10. 2014 21:24

↑ kulicka:
Všech usazení je $5!$

aspoň jedna dvojice vedle sebe: Vyberu jednu dvojici ze tří- ${3\choose1}$ , mám pět rozlišitelných prvků -> $4!$ uspořádání, vzhledem k záměně $X_1-X_2$ je vše "krát dvě"

aspoň dvě dvojice vedle sebe: Vyberu dvě dvojice ze tří- ${3\choose2}$ , mám 4 rozlišitelné prvky -> $3!$ uspořádání, vzhledem k záměně $X_1-X_2$ a $Y_1-Y_2$ je vše "krát dvě krát dvě"

aspoň tři dvojice vedle sebe: Vyberu tři dvojice ze tří- ${3\choose3}$ , mám tři rozlišitelné prvky -> $2!$ uspořádání, vzhledem k záměně $X_1-X_2$ a $Y_1-Y_2$ a $Z_1-Z_2$ je vše "krát dvě krát dvě krát dvě"

a pak PIE

kulicka · 18. 10. 2014 21:44

zdenek1 napsal(a):
↑ kulicka:
aspoň jedna dvojice vedle sebe: Vyberu jednu dvojici ze tří- ${3\choose1}$ , mám pět rozlišitelných prvků -> $4!$ uspořádání, vzhledem k záměně $X_1-X_2$ je vše "krát dvě"

Nerozumím tomuto: mám pět rozlišitelných prvků -> $4!$
Jak se na to přišlo?

Já jsem si myslela, že je to
$P'(2,2,1)=\frac{5!}{2! \cdot 2!}=\frac{5!}{4}$

Ty permutace mi u počtu všech řešení sedí, tak jsem čekala, že jsou OK, ale asi ne. Jak to tedy je? Ta úvaha mi asi nějak uniká.

zdenek1 · 19. 10. 2014 00:35

↑ kulicka:
To jsou základní věci, vpodstatě to ani nepatří do sekce VŠ.
Projdi si Odkaz nebo
Odkaz

Formol · 19. 10. 2014 19:29

zdenek1 napsal(a):
Nikoli, je to tak, jak píseš ty. Ve všech civilizovaných zemích jsou lidé rozlišitelní.

Nebylo by vhodné argumentovat korektně? Pokud jsem zadání pochopil špatně ve smyslu "každá škola dostane dvě židle", stane se. Ale takovýto "argument" je možná vtipný, ale z pedagogického hlediska je to zvrácenost nabádájící k tomu, aby si studenti upravovali zadání podle vlasních dojmů a nápadů...

kulicka · 20. 10. 2014 09:26

↑ zdenek1:
Fajn, klidně to příště zařadím níž. Nemám tady v tom nejlepší základy no, tak jsem se dovolila zeptat. Snad to není taková chyba.

Jinak mám pocit, že tvůj PIE je nějaký jiné než můj, resp. asi jevy označuješ jinak než jsem zvyklá - nevadí.
Díky.

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2014 14:57

Princip inkluze a exkluze

#2 17. 10. 2014 15:28

Re: Princip inkluze a exkluze

#3 17. 10. 2014 15:53

Re: Princip inkluze a exkluze

#4 17. 10. 2014 17:07

Re: Princip inkluze a exkluze

#5 17. 10. 2014 19:31

Re: Princip inkluze a exkluze

#6 17. 10. 2014 19:40

Re: Princip inkluze a exkluze

#7 17. 10. 2014 19:52

Re: Princip inkluze a exkluze

#8 17. 10. 2014 19:55

Re: Princip inkluze a exkluze

#9 17. 10. 2014 19:58

Re: Princip inkluze a exkluze

#10 17. 10. 2014 21:24

Re: Princip inkluze a exkluze

#11 18. 10. 2014 21:44

Re: Princip inkluze a exkluze

zdenek1 napsal(a):

#12 19. 10. 2014 00:35

Re: Princip inkluze a exkluze

#13 19. 10. 2014 19:29

Re: Princip inkluze a exkluze

zdenek1 napsal(a):

#14 20. 10. 2014 09:26

Re: Princip inkluze a exkluze

Zápatí