Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 10. 2014 23:09

quagissimo
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: MFF UK
Pozice: studentka
Reputace:   
 

Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

Dobrý den, potřebovala bych poradit s jedním příkladem z kvantové mechaniky. Zadání zní:
Nalezněte statistický operátor $\varrho$ pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy, tj. pravděpodobnost alezení libovolného stavu s vektorem |i> a energií E$_{i}$ je dáno pravděpodobností w$_{i}$ = \frac{1}{Z}e$^{-$\frac${E$_{i}$}{kT}}$, kde Z = \sum_{i} {e$^{-$\frac${E$_{i}$}{kT}}$}.
Předem Všem děkuji za jakoukoliv pomoc se řešením.

Offline

 

#2 15. 10. 2014 23:39

misaH
Příspěvky: 13153
 

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

↑ quagissimo:

Ahoj.

To naozaj nevidíš, že text je nečitateľný?

Offline

 

#3 16. 10. 2014 10:46

Jj
Příspěvky: 8660
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   592 
 

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

↑ misaH:

Dobrý den. Chtěla jste napsat toto?

quagissimo napsal(a):

Dobrý den, potřebovala bych poradit s jedním příkladem z kvantové mechaniky. Zadání zní:
Nalezněte statistický operátor $\varrho$ pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy, tj. pravděpodobnost nalezení libovolného stavu s vektorem |i> a energií $E_{i}$ je dáno pravděpodobností $w_{i} = \frac{1}{Z}e^{-\frac{E_{i}}{kT}}$, kde $Z = \sum_{i} {e^{-\frac{E_{i}}{kT}}}$.
Předem Všem děkuji za jakoukoliv pomoc se řešením.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#4 16. 10. 2014 12:31

pietro
Příspěvky: 4698
Reputace:   187 
 

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

↑ Jj: Ahoj , podobne postupoval asi aj
Jean-François Champollion :-) vďaka za preklad!

Offline

 

#5 17. 10. 2014 20:44 — Editoval Brzls (18. 10. 2014 18:00)

Brzls
Veterán
Příspěvky: 1033
Škola: MFF UK (15-..., Bc.)
Pozice: Student
Reputace:   66 
 

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

↑ quagissimo:

Čau

Nevím jestli je to nejlepší řešení, ale vcelku si myslím, že by mohlo fungovat. Netuším jak se takovéhle příklady řeší takže možná to lze nějak lépe.

Nechť  H je hamiltonián a E_i jsou vlastní čísla této matice. Pak zvolme bázi tvořenou z jeho vlastních vektorů, v ní by mělo platit (pokud se nepletu) $Tr(H)=\sum_{i}^{}E_{i}$. kde Tr značí stopu matice

Dále víme, že z definice musí platit
$\sum_{i}^{}w_{i}E_{i}=\langle H\rangle=Tr(\varrho H)$

No a teď přijdou na řadu úpravy

$\sum_{i}^{}w_{i}E_{i}=\sum_{i}^{}\frac{1}{Z}exp(-\frac{1}{kT}E_{i})E_{i}=\sum_{i}^{}\frac{1}{Z}\sum_{n}^{}\frac{1}{n!}(-\frac{1}{kT})^{n}E_{i}^{n}E_{i}$

Podle anglické wikipedie platí dvě takové pěkné věci (první je jasná, té druhé prostě věřím, dokázat to fakt neumím)-edit: vlastně je to v našem případě triviální důsledek toho že máme matici v diagonálním tvaru a definice násobení matic)
$Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)$
$Tr(A^{j})=\sum_{i}^{}\lambda _{i}^{j}$
kde alfa_i jsou vlastní čísla dané matice (viz http://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)#Trace_of_a_linear_operator )

No a s tím můžeme pracovat dál když víme že ty energie jsou vlastní čísla hamiltoniánu
$\sum_{i}^{}\frac{1}{Z}\sum_{n}^{}\frac{1}{n!}(-\frac{1}{kT})^{n}E_{i}^{n}E_{i}=\frac{1}{Z}\sum_{n}^{}\frac{1}{n!}(-\frac{1}{kT})^{n}\sum_{i}^{}E_{i}^{n+1}=\frac{1}{Z}\sum_{n}^{}\frac{1}{n!}(-\frac{1}{kT})^{n}\cdot Tr(H^{n+1})$
Teď si všimneme, že se všechno před Tr jsou konstanty a jediná operace sčítání, takže Tr můžeme napsat na začátek celého toho výrazu.
Poslední úprava zpět na exponenciálu dá
$Tr(\frac{1}{Z}\sum_{n}^{}\frac{1}{n!}(-\frac{1}{kT})^{n}\cdot H^{n}\cdot H)=Tr(\frac{1}{Z}exp(-\frac{1}{kT}H)\cdot H)$

Tím jsme ale dostali vztah
$Tr(\frac{1}{Z}exp(-\frac{1}{kT}H)\cdot H)=Tr(\varrho H)$

a proto bych usoudil

$\varrho =\frac{1}{Z}exp(-\frac{1}{kT}H)$

Jak říkám třeba to jde jednodušeji ale nikdo nic nepsal tak jsem si řekl že když jsem to nakonec nějak umlátil tak to sem hodím.
Téma přesunu do Zajímavých a náročnějších, třeba se ozve někdo zkušenější

Offline

 

#6 17. 10. 2014 21:05

pietro
Příspěvky: 4698
Reputace:   187 
 

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

↑ Brzls: Ahoj, tu na str 96/175 som našiel podobné :-)

Offline

 

#7 17. 10. 2014 21:36

misaH
Příspěvky: 13153
 

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

↑ Jj:

:-)

Zdravím.

No - ja ani nie.

😃

Offline

 

#8 17. 10. 2014 23:52

Brzls
Veterán
Příspěvky: 1033
Škola: MFF UK (15-..., Bc.)
Pozice: Student
Reputace:   66 
 

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

↑ pietro:
Děkuji

Tak jsem ještě zapátral v českých zdrojích a vypadá to že i česká wikipedie s výsledkem souhlasí (viz poslední odstavec)

http://cs.wikipedia.org/wiki/Oper%C3%A1tor_hustoty

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson