Matematické Fórum

quagissimo · 15. 10. 2014 23:09

Dobrý den, potřebovala bych poradit s jedním příkladem z kvantové mechaniky. Zadání zní:
Nalezněte statistický operátor $\varrho$ pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy, tj. pravděpodobnost alezení libovolného stavu s vektorem |i> a energií E $_{i}$ je dáno pravděpodobností w $_{i}$ = \frac{1}{Z}e $^{-$ \frac ${E$ _{i} $}{kT}}$ , kde Z = \sum_{i} {e $^{-$ \frac ${E$ _{i} $}{kT}}$ }.
Předem Všem děkuji za jakoukoliv pomoc se řešením.

misaH · 15. 10. 2014 23:39

↑ quagissimo:

Ahoj.

To naozaj nevidíš, že text je nečitateľný?

Jj · 16. 10. 2014 10:46

↑ misaH:

Dobrý den. Chtěla jste napsat toto?

quagissimo napsal(a):
Dobrý den, potřebovala bych poradit s jedním příkladem z kvantové mechaniky. Zadání zní:
Nalezněte statistický operátor $\varrho$ pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy, tj. pravděpodobnost nalezení libovolného stavu s vektorem |i> a energií $E_{i}$ je dáno pravděpodobností $w_{i} = \frac{1}{Z}e^{-\frac{E_{i}}{kT}}$ , kde $Z = \sum_{i} {e^{-\frac{E_{i}}{kT}}}$ .
Předem Všem děkuji za jakoukoliv pomoc se řešením.

pietro · 16. 10. 2014 12:31

↑ Jj: Ahoj , podobne postupoval asi aj
Jean-François Champollion :-) vďaka za preklad!

Brzls · 17. 10. 2014 20:44 — Editoval Brzls (18. 10. 2014 18:00)

↑ quagissimo:

Čau

Nevím jestli je to nejlepší řešení, ale vcelku si myslím, že by mohlo fungovat. Netuším jak se takovéhle příklady řeší takže možná to lze nějak lépe.

Nechť H je hamiltonián a E_i jsou vlastní čísla této matice. Pak zvolme bázi tvořenou z jeho vlastních vektorů, v ní by mělo platit (pokud se nepletu) $Tr(H)=\sum_{i}^{}E_{i}$ . kde Tr značí stopu matice

Dále víme, že z definice musí platit
$\sum_{i}^{}w_{i}E_{i}=\langle H\rangle=Tr(\varrho H)$

No a teď přijdou na řadu úpravy

$\sum_{i}^{}w_{i}E_{i}=\sum_{i}^{}\frac{1}{Z}exp(-\frac{1}{kT}E_{i})E_{i}=\sum_{i}^{}\frac{1}{Z}\sum_{n}^{}\frac{1}{n!}(-\frac{1}{kT})^{n}E_{i}^{n}E_{i}$

Podle anglické wikipedie platí dvě takové pěkné věci (první je jasná, té druhé prostě věřím, dokázat to fakt neumím)-edit: vlastně je to v našem případě triviální důsledek toho že máme matici v diagonálním tvaru a definice násobení matic)
$Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)$
$Tr(A^{j})=\sum_{i}^{}\lambda _{i}^{j}$
kde alfa_i jsou vlastní čísla dané matice (viz http://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)#Trace_of_a_linear_operator )

No a s tím můžeme pracovat dál když víme že ty energie jsou vlastní čísla hamiltoniánu
$\sum_{i}^{}\frac{1}{Z}\sum_{n}^{}\frac{1}{n!}(-\frac{1}{kT})^{n}E_{i}^{n}E_{i}=\frac{1}{Z}\sum_{n}^{}\frac{1}{n!}(-\frac{1}{kT})^{n}\sum_{i}^{}E_{i}^{n+1}=\frac{1}{Z}\sum_{n}^{}\frac{1}{n!}(-\frac{1}{kT})^{n}\cdot Tr(H^{n+1})$
Teď si všimneme, že se všechno před Tr jsou konstanty a jediná operace sčítání, takže Tr můžeme napsat na začátek celého toho výrazu.
Poslední úprava zpět na exponenciálu dá
$Tr(\frac{1}{Z}\sum_{n}^{}\frac{1}{n!}(-\frac{1}{kT})^{n}\cdot H^{n}\cdot H)=Tr(\frac{1}{Z}exp(-\frac{1}{kT}H)\cdot H)$

Tím jsme ale dostali vztah
$Tr(\frac{1}{Z}exp(-\frac{1}{kT}H)\cdot H)=Tr(\varrho H)$

a proto bych usoudil

$\varrho =\frac{1}{Z}exp(-\frac{1}{kT}H)$

Jak říkám třeba to jde jednodušeji ale nikdo nic nepsal tak jsem si řekl že když jsem to nakonec nějak umlátil tak to sem hodím.
Téma přesunu do Zajímavých a náročnějších, třeba se ozve někdo zkušenější

pietro · 17. 10. 2014 21:05

↑ Brzls: Ahoj, tu na str 96/175 som našiel podobné :-)

misaH · 17. 10. 2014 21:36

↑ Jj:

:-)

Zdravím.

No - ja ani nie.

😃

Brzls · 17. 10. 2014 23:52

↑ pietro:
Děkuji

Tak jsem ještě zapátral v českých zdrojích a vypadá to že i česká wikipedie s výsledkem souhlasí (viz poslední odstavec)

http://cs.wikipedia.org/wiki/Oper%C3%A1tor_hustoty

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2014 23:09

Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

#2 15. 10. 2014 23:39

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

#3 16. 10. 2014 10:46

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

quagissimo napsal(a):

#4 16. 10. 2014 12:31

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

#5 17. 10. 2014 20:44 — Editoval Brzls (18. 10. 2014 18:00)

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

#6 17. 10. 2014 21:05

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

#7 17. 10. 2014 21:36

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

#8 17. 10. 2014 23:52

Re: Statistický operátor pro systém ve stavu termodynamické rovnováhy

Zápatí