Matematické Fórum

Kdosi · 11. 10. 2014 15:38

Zdravím, zajímalo by mne, jak se definuje/dokazuje vztah: $\sqrt[a]{x^{b}}=x^{\frac{b}{a}}$ . Pro a $x\in \mathbb{R}, a\in \mathbb{N}, b\in \mathbb{N}$ . A také by mne zajímalo jak je to v tomto případě s $a=0$ .
Moc děkuji za nějaké informace :)

Freedy · 11. 10. 2014 16:35

Jen menší poznámka, nemůžeš dokazovat vztah pro $x\in \mathbb{R}$ a zároveň pro $a,b\in \mathbb{N}$
Uvědom si, že sudé odmocniny ze záporných čísel nejsou definovány.

Nultá odmocnina nemůže existovat. Může se to ukázat například na příkladu:
$x^0=1$ pro $x\in \mathbb{R}_{-\{0\}}$
$y^0=1$ pro $y\in \mathbb{R}_{-\{0\}}$

Když tyto obě rovnice odmocníme nultou odmocninou, dostáváme:
$\sqrt[0]{1}=x$
$\sqrt[0]{1}=y$ což platí pouze když x = y. Jenže první dva vztahy platí i pro x se nerovná y. Což je spor.

Kdosi · 11. 10. 2014 17:29

↑ Freedy:
Jasně, děkuji za opravení, odmocninu ze záporného čísla jsem jaksi zapomněl podmínit a nultá odmocnina mi jaksi nedošla, děkuji za upozornění.
Správně by to tedy vypadalo takto? $x\in R^{+}$ a to, že jsem určil $a,b\in \mathbb{N}$ by mělo stačit, mám pravdu? $\{0\}\cap \mathbb{N}=\{\}$ (nenašel jsem znak "nenáleží").

Tvá reakce tedy vlastně odpověděla na druhou část mé otázky.
Děkuji.

Kdosi · 11. 10. 2014 17:50 — Editoval Kdosi (11. 10. 2014 17:51)

Tak jsem ještě chvíli zapřemýšlel, pohledal po internetu a napadla mně vlastně úplně triviální myšlenka:
$0\le \sqrt[n]{x}=x^p$ (vynásobím n-krát tou samou nerovností)
$0\le x=x^{pn}$
$1=pn$
$p=1/n$
Obdobně pro $\sqrt[n]{x^{a}}$ .
Je můj postup správný? Příp. jak ho upravit aby byl naprosto korektní?

Freedy · 11. 10. 2014 18:01 — Editoval Freedy (12. 10. 2014 21:27)

Podle mě by ten tvůj vztah šel dokázat z definice odmocniny:
$b=\sqrt[a]{b^a}$ berme že funguje tento vztah (nebudu brát teď ohledy na sudé, liché odmocniny, bez abs. hodnoty)
$b^1=\sqrt[a]{b^a}=\underbrace{\sqrt[a]{b}\cdot\sqrt[a]{b}\cdot...\cdot\sqrt[a]{b}}_{a}=\underbrace{b^{\frac{1}{?}}\cdot b^{\frac{1}{?}}\cdot...\cdot b^{\frac{1}{?}}}_{a}=b^{\underbrace{\frac{1}{?}+\frac{1}{?}+...+\frac{1}{?}}_{a}}=b^{\frac{a}{?}}$
porovnáním hodnot napravo a nalevo dostáváme:
$b^1=b^{\frac{a}{?}}$ a porovnáním exponentů dostáváme:
$1=\frac{a}{?}$
$a=?$
Proto tedy musí platit:
$\sqrt[a]{b}=b^{\frac{1}{a}}$

EDIT: tvůj postup se mi líbí víc. Pěkné

Kdosi · 11. 10. 2014 19:36

↑ Freedy:
Super, díky za Tvůj čas a připomínky :)

check_drummer · 12. 10. 2014 21:20

Ahoj, podle mého je potřeba symbol $a^{\frac{p}{q}}$ nutné definovat - a sice právě jako onu odmocninu.
(To, že se definuje právě jako odmocnina je proto, aby pro něj "přirozeně" platily vztahy pro násobení a umocňování výrazů tohoto tvaru.)

Kdosi · 12. 10. 2014 21:26

↑ check_drummer:
Zdravím, možná je to jen tím, že nemám takové znalosti, ale: proč je to nutné definovat, když jsme to byli schopni takto "odvodit"?

check_drummer · 13. 10. 2014 01:16

↑ Kdosi:
Každý nový symbol je nutné definovat. Např. $a^n$ pro $n \in \mathbb{N}$ je $a.a...a$ , kde násobíme n hodnot $a$ . Ovšem co je to $a^\frac{1}{n}$ pro $n \in \mathbb{N}$ ? To je zcela nový pojem, který nelze "odvodit", ale je nutné jej definovat. To je stejné jako s $a^{-n}$ pro $n \in \mathbb{N}$ , také je nutné definovat, že $a^{-n} := \frac{1}{a^n}$ a následně dokázat vlastnosti toho nového pojmu.

Kdosi · 13. 10. 2014 21:31

↑ check_drummer:
Opět zdravím,
abych řekl pravdu, přijde mi, že racionální exponent se dá odvodit a tím pádem bych i, mým, nezkušeným okem, řekl, že není potřeba jej jakkoliv definovat, že jsme pouze "objevili" novou vlastnost. Avšak předpokládám, že více zkušeností a znalostí máte vy a proto Vám dám za pravdu. Ostatně ptal jsem se, tak je teď hloupost abych dělal, že vím jak to správně má být.
Děkuji za Vaše reakce :)

check_drummer

↑ Kdosi:
Co myslíš tím, že se dá "odvodit"? Proč si např. myslíš, že je $(a^\frac{1}{n})^2=a^\frac{2}{n}$ ? (Podle mého jen používáš analogie platnosti vztahu pro přirozené mocnintele.) A co to vůbec je $a^\frac{1}{n}$ a co to je $a^\frac{2}{n}$ ?

Podle mého postupuješ takto: Hledáš definici pojmu $a^\frac{p}{q}$ a to takovou, aby pro ni platilo, že $(a^\frac{p}{q})^n=a^\frac{pn}{q}$ - a následně ukážeš, že tomu vyhovuje definice $a^\frac{p}{q}:=\sqrt[q]{a^p}$ .