Matematické Fórum

jarrro · 20. 10. 2014 12:33

čaute prečo sa pri definícii Baireovej triedy s ordinálnym indexom požaduje spočítateľnosť toho indexu?
jedine ak by platilo, že zjednotenie všetkých tried so spočítateľnými indexami je už vzhľadom na bodové limity uzavreté tak by nespočítateľný index nedal nič nové ak to však uzavreté nie je tak je to podľa mňa zbytočná limitácia

Rumburak

↑ jarrro:

Ahoj.
Touto problematikou jsem se sice nikdy nezabýval do hloubky, ale také mám dojem, že proces generování
Baireových tříd se na žádném ordin. čísle nezastaví - na jedné přednášce o tom padla zmínka, pokud si dobře
pamatuji.

jarrro · 21. 10. 2014 07:40 — Editoval jarrro (21. 10. 2014 07:40)

↑ Rumburak:ahoj ďakujem potom ale nechápem prečo sa všade spomína countable ordinal transfinitná indukcia hádam funguje aj pre uncountable alebo nie?

Rumburak

↑ jarrro:
Ano, transfinitní indukce funguje přes všechna ordinální čísla:

$$\forall_{\alpha \in \mathrm{On}}(\alpha \subseteq T \Rightarrow \alpha \in T)$ \Rightarrow (\mathrm{On} \subseteq T)$ ,

pokud si dobře vzpomínám. Z toho dostaneme větu o konstrukci, pamatuji-li si to dobře.

jarrro · 22. 10. 2014 10:10

našiel som tento článok
možno že postačujúcosť spočítateľnosti vyplýva z toho, že Z s prvým nespočítateĺným indexom sa rovná množine svojich komplementov
nečítal som to zatiaľ nejak podrobne

Rumburak

↑ jarrro:
Do toho článku jsem sice letmo nakoukl, ale k jeho důkladnému studiu nejsem dostatečně vybaven.
Možná (ale nevím) jsou důležité i vlastnosti prostoru $X$ , který je definičním oborem těch Baireovských
funkcí. Ta zmínka na přednášce (viz ↑ Rumburak:) se týkala spaciálně případu $X = \mathbb{R}$ .

kompik · 22. 10. 2014 17:16

↑ jarrro:
$\mathcal B_{\omega_1}$ je už uzavreté na bodové limity.

Dôležité je vedieť, že $\omega_1$ sa nedá získať ako suprémum spočítateľne veľa ordinálov. Inak povedané je to regulárny ordinál.
(To vlastne vyplýva z toho, že zjednotenie spočítateľne veľa spočítateľných množín je spočítateľné.)

Ak teraz máme postupnosti $(f_n)$ takú, že každé $f_n$ patrí do niektorej z množín $\mathcal B_{\alpha_n}$ pre nejaké $\alpha_n<\omega_1$ , tak vezmime $\alpha=\sup \alpha_n$ . Potom bodová limita tejto postupnosti patrí do $\mathcal B_{\alpha+1}$ a $\alpha+1<\omega_1$ .

jarrro · 23. 10. 2014 09:55 — Editoval jarrro (23. 10. 2014 10:03)

↑ kompik:ahoj díky čiže spočítateľných ordinálov je spočítateľne veľa ?
platí teda $\text{card}{$\{\alpha\in On:\text{card}{\(\alpha$}\leq\aleph_0\}\)}\leq \aleph_0$ ?
ale keď sa tak zamyslím tak množina všetkých funkcií R do R má nejakú kardinalitu teda nemôže každý prvok indexovaného množinového systému s indexovou množinou väčšej kardinality byť neprázdny teda sa nutne musí "napúchajúca" postupnosť podmnožín množiny všetkých funkcií (je jedno či je to postupnosť baireových tried) niekde "stabilizovať"
je to tak?

kompik · 23. 10. 2014 10:08

jarrro napsal(a):
↑ kompik:ahoj díky vlastne keď sa tak zamyslím tak množina všetkých funkcií R do R má nejakú kardinalitu teda nemôže každý prvok indexovaného množinového systému s indexovou množinou väčšej kardinality byť neprázdny teda sa nutne musí "napúchajúca" postupnosť podmnožín množiny všetkých funkcií (je jedno či je to postupnosť baireových tried) niekde "stabilizovať"
je to tak?

To, čo hovoríš je pravda. Čiže bol by to argument, ktorými by sme vedeli zdôvodniť, že nemôžeme mať nejaký systém $\mathcal B_\alpha$ , kde by kardinalita ostro rástla. (T.j. mali by sme $\alpha<\beta \Rightarrow \operatorname{card}\mathcal B_\alpha < \operatorname{card} \mathcal B_\beta$ .)
Ale v tomto prípade takýto argument nepomôže.
Vieme, že kardinalita množiny všetkých spojitých funkcií je $\mathfrak c$ .
Ďalej vieme ukázať, že ak mám systém funkcií takejto kardinality a vezmem všetky ich bodové limity, dostanem opäť systém kardinality $\mathfrak c^{\alpha_0}=\mathfrak c$ . (Je ich nanajvýš toľko, koľko z nich viem vytvoriť postupností .)
Na základe toho indukciou dokážeme, že každá z tried, ktoré postupne vytvárame, tak každá z nich má opäť kardinalitu $\mathfrak c$ .
A keď to zjednotíme cez všetky ordinály menšie ako $\omega_1$ dostaneme opäť množinu kardinality $\mathfrak c$ .
$\operatorname{card}{\mathcal B}=\operatorname{card}{(\bigcup_{\alpha<\omega_1}\mathcal B_\alpha)} \le \aleph_1 \cdot \mathfrak c=\mathfrak c$

kompik · 23. 10. 2014 10:11

jarrro napsal(a):
↑ kompik:ahoj díky čiže spočítateľných ordinálov je spočítateľne veľa ?
platí teda $\text{card}{$\{\alpha\in On:\text{card}{\(\alpha$}\leq\aleph_0\}\)}\leq \aleph_0$ ?
je to tak?

Vidím, že si zeditoval medzičasom svoj post, tak skúsim odpovedať ešte na to, čo pribudlo.
Nie, spočítateľných ordinálov je nespočítateľne veľa. Je ich presne $\aleph_1$ .
(Neviem, do akej miery ovládaš takýto prístup ku kardinálom, ale pri von Neumannovej konštrukcii sú kardinály špeciálnym prípadom ordinálov, t.j. platí $\aleph_1=\omega_1$ . A $\omega_1$ je presne množina všetkých spočítateľných ordinálov.)

jarrro · 23. 10. 2014 18:44

aha díky myslím, že to už môžem ozančiť za vyriešené

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2014 12:33

Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

#2 20. 10. 2014 13:17 — Editoval Rumburak (20. 10. 2014 13:21)

Re: Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

#3 21. 10. 2014 07:40 — Editoval jarrro (21. 10. 2014 07:40)

Re: Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

#4 22. 10. 2014 09:49 — Editoval Rumburak (22. 10. 2014 16:29)

Re: Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

#5 22. 10. 2014 10:10

Re: Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

#6 22. 10. 2014 16:20 — Editoval Rumburak (22. 10. 2014 16:26)

Re: Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

#7 22. 10. 2014 17:16

Re: Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

#8 23. 10. 2014 09:55 — Editoval jarrro (23. 10. 2014 10:03)

Re: Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

#9 23. 10. 2014 10:08

Re: Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

jarrro napsal(a):

#10 23. 10. 2014 10:11

Re: Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

jarrro napsal(a):

#11 23. 10. 2014 18:44

Re: Bairova klasifikácia a dôvod na spočítateľnosť indexu Baireovej triedy

Zápatí