Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
![$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1$](/mathtex/b5/b505b7df05c436f5da2ae091f32eb3bf.gif "kopírovat do textarea")
.#2 29. 10. 2014 08:02
![$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to \infty} e^{\frac{\ln n}{n}}$](/mathtex/c5/c5ef4e83dbc00c714e85411524396d14.gif "kopírovat do textarea")
Offline
![$\{\sqrt[n]{n}\}$](/mathtex/be/beac608dfb051ab065e6cc022ba7f9bf.gif "kopírovat do textarea")
je od jistého 
dále klesající. To lze takto:
a 
, 
, takže existuje 
platí 
, a tedy 
a ![$\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}$](/mathtex/5c/5c9c5fda6a78d0281df4dfadef1b5160.gif "kopírovat do textarea")
(neboť zobrazení 
, 
je rostoucí). Označme hledanou limitu 
.
:![$\sqrt[n]{n}\geq\sqrt[n]{1}=1$](/mathtex/64/6408fa94a624e6019262edbc9f4147cc.gif "kopírovat do textarea")
pro všechna 
, a tedy 
. Protože posloupnost je klesající, víme již, že 
a 
. Pak pro 
, tudíž ![$\sqrt[n]{n}<1+\varepsilon$](/mathtex/bc/bc302521a7bae99973c371d39f2722c8.gif "kopírovat do textarea")
a je hotovo.
?