Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 31. 10. 2014 13:38 — Editoval inconnu (31. 10. 2014 13:39)

inconnu
Příspěvky: 57
Reputace:   
 

Integrál podílu kosinů

Zdravím,
potřeboval bych poradit s následujícím integrálem...
$\int \frac{2(\cos x+2)}{4\cos x+5}dx$.
Zkusil jsem na to jít přes následující substituci:
$x=2arctg(t)$,
$\cos x=\ldots =\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$,
$dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$.
Po postupných úpravách jsem se dopracoval k:
$4\int\frac{t^{2}+3}{(t^{2}+3)^{2}+4t^{2}}dt$.
Teď jsem se sekl.
Ale zřejmě to povede jakýmsi způsobem k použití vzorce:
$\int\frac{1}{1+u^{2}}du=arctg(u)$.
Jen nevím, jak se k tomu dopracovat.

Nebo se na to dá jít i (úplně) jinak???

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) inconnu)

#2 31. 10. 2014 14:30

Bati
Příspěvky: 2437
Reputace:   191 
 

Re: Integrál podílu kosinů

Ahoj,
použij MAW. V prvním kroku je dobrý to vydělit - uvědom si, že čitatel je skoro stejný jako jmenovatel.

Offline

 

#3 31. 10. 2014 15:30 — Editoval inconnu (31. 10. 2014 16:39)

inconnu
Příspěvky: 57
Reputace:   
 

Re: Integrál podílu kosinů

OK, to mi moc pomohlo, díky.

Takže ta primitivní funkce jest:
$actg(tg(\frac{\varphi }{2}))+actg(\frac{1}{3}tg(\frac{\varphi }{2}))$.

No a ještě potřebuji pomoc s tímto.
Když jsem měl na začátku daný ne neurčitý, ale určitý integrál:
$\int_{0}^{2\pi } \frac{2cos\varphi +4}{4cos\varphi +5} d\varphi $.

Tak nevím, jak určit:
$[actg(tg(\frac{\varphi }{2}))+actg(\frac{1}{3}tg(\frac{\varphi }{2}))]_{\varphi =0}^{2\pi }$.

Vůbec mi to nevychází. Má to vyjít $2\pi $!
Wolfram mi to tak taky hází. ($\int_{0}^{2\pi } \frac{2cos\varphi +4}{4cos\varphi +5} d\varphi=2\pi $)
MAW mi to však háže 0, což "je špatně".
Já sám nevím, jak to spočítat.
Tohle: $actg(tg(\frac{\varphi }{2}))$ bych si možná mohl napsat pouze jako $\frac{\varphi }{2}$, ne? (Odtud bych se dopracoval k $\pi $.)
Ale co to "druhý"?
Když to počítám na kalkulačce nebo na netu, tak mi to háže samé nuly, takže nevím, jak se dopracovat k těm výsledným $2\pi $.

Offline

 

#4 31. 10. 2014 21:46

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Integrál podílu kosinů

Zdravím,

↑ inconnu: podívala jsem se na historii MAW (a také na WA) - v tom může být problém s jinak zavedenou definici v jednotlivých programech (případně se sudosti/lichosti - teď ale nevidím, kde by se to projevilo). Zkusím projít ručně (ale nebude to hned) :-) Případně bychom nahlásili v místní sekci podpory MAW.

Vidí něco kolega ↑ Bati:? Děkuji.

Offline

 

#5 01. 11. 2014 16:14 — Editoval Bati (01. 11. 2014 16:19)

Bati
Příspěvky: 2437
Reputace:   191 
 

Re: Integrál podílu kosinů

↑ jelena:↑ inconnu:
Po tom částečném vydělení tam vyjde konstanta $\tfrac12$. Tu je samozřejmě nejjednodušší zintegrovat zvlášť a dostat $\pi$. Pokud budeme mechanicky pokračovat ve výpočtu pomocí MAW, tahle konstanta se vrátí zpátky do zlomku a na konci logicky vyjde $\arctan(\tan\tfrac{\varphi}2)=\tfrac{\varphi}2+k\pi$.

Druhý problém je v tom, že "primitivní funkce" $\arctan(\tfrac13\tan\tfrac{\varphi}2)$ není spojitá v bodě $\pi\in(0,2\pi)$, takže zde je potřeba slepit a zde dostaneme to chybějící $\pi$, neboť arkustangens "poskočí" o celý svůj obor hodnot, tedy o $\pi$.

Offline

 

#6 01. 11. 2014 21:20

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Integrál podílu kosinů

↑ Bati:

Zdravím a děkuji. Já jsem se dívala přímo na vložení kolegy (bez úpravy) - kde MAW dává 0. Pokud mu předložím úpravu, tak dává $\pi$ (což je výsledek pro $\frac{x}{2}$ (jak jsi napsal).

"Kritický výsledek" je zde. Na toto se zeptám (později) v sekci CAS (kam vede podpora MAW). Spíš pokud mohu poprosit k praktickému ručnímu výpočtu:

Druhý problém je v tom, že "primitivní funkce" $\arctan(\tfrac13\tan\tfrac{\varphi}2)$ není spojitá v bodě $\pi\in(0,2\pi)$, takže zde je potřeba slepit a zde dostaneme to chybějící $\pi$, neboť arkustangens "poskočí" o celý svůj obor hodnot, tedy o $\pi$.

pokud kolega zavede substituci $\mathrm{tg}\(\frac{x}{2}\)=t$, v kterém okamžiku (a jak při výpočtu určitého integrálu) má zohlednit, že tuto substituci má pouze na$x\in(0,\pi)$? Děkuji.

Offline

 

#7 01. 11. 2014 22:43

Bati
Příspěvky: 2437
Reputace:   191 
 

Re: Integrál podílu kosinů

↑ jelena:
Zohlednit to má tak, že si musí uvědomit, že daný výpočet primitivní funkce je korektní pouze na jistých intervalech.

Podrobněji:
Protože substituce $\mathrm{tg}\(\frac{x}{2}\)=t$ je definovaná pouze na intervalech $(-\pi+2k\pi,\pi+2k\pi)$, musíme se při výpočtu primitivní funkce omezit na některý z těchto intervalů. Na tomto intervalu tedy provedeme daný výpočet. Je zřejmé, že tento výpočet proběhne na každém intervalu výše stejně, ovšem příslušné integrační konstanty jsou v tuto chvíli libovolné. Ze zadání víme, že existuje primitivní funkce na celém R, která musí být spojitá, takže dostáváme podmínky na integrační konstanty. Nám stačí zjistit, jak vypadá na $(0,2\pi)$, proto stačí spočítat jednostranné limity v bodě $\pi$ a spojitě napojit.

Offline

 

#8 01. 11. 2014 23:09

inconnu
Příspěvky: 57
Reputace:   
 

Re: Integrál podílu kosinů

Jednostranné limity jsou $-\frac{\pi }{2}$ a $\frac{\pi }{2}$, ne?
Co to znamená spojitě napojit? Jak se to provádí?

Offline

 

#9 01. 11. 2014 23:37

Bati
Příspěvky: 2437
Reputace:   191 
 

Re: Integrál podílu kosinů

↑ inconnu:
Na $(-\pi,\pi)$ mi vyjde primitivní funkce $F_1(x)=\arctan(\tfrac13\tan\tfrac{\varphi}2)+c_1$, na $(\pi,3\pi)$ pak $F_2(x)=\arctan(\tfrac13\tan\tfrac{\varphi}2)+c_2$. Platí $F_1(\tfrac{\pi}2-)=\tfrac{\pi}2+c_1$, $F_2(\tfrac{\pi}2+)=-\tfrac{\pi}2+c_2$. Zvolím-li např. $c_1=0$ a $c_2=\pi$, pak tyto funkce "na sebe napojím" a tuhle spojenou funkci nazvu primitivní funkci na celém $(-\pi,3\pi)$.

Říká se tomu "lepení", pojem "spojité napojování" je zavádějící, protože nám nezáleží na hodnotě funkce v napojovaném bodě, ale jen na jejím chování v okolí.

Offline

 

#10 02. 11. 2014 10:03

inconnu
Příspěvky: 57
Reputace:   
 

Re: Integrál podílu kosinů

OK, potom už to chápu.
Díky moc za rozřešení!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson