Matematické Fórum

inconnu

Zdravím,
potřeboval bych poradit s následujícím integrálem...
$\int \frac{2(\cos x+2)}{4\cos x+5}dx$ .
Zkusil jsem na to jít přes následující substituci:
$x=2arctg(t)$ ,
$\cos x=\ldots =\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ,
$dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .
Po postupných úpravách jsem se dopracoval k:
$4\int\frac{t^{2}+3}{(t^{2}+3)^{2}+4t^{2}}dt$ .
Teď jsem se sekl.
Ale zřejmě to povede jakýmsi způsobem k použití vzorce:
$\int\frac{1}{1+u^{2}}du=arctg(u)$ .
Jen nevím, jak se k tomu dopracovat.

Nebo se na to dá jít i (úplně) jinak???

Bati · 31. 10. 2014 14:30

Ahoj,
použij MAW. V prvním kroku je dobrý to vydělit - uvědom si, že čitatel je skoro stejný jako jmenovatel.

inconnu

OK, to mi moc pomohlo, díky.

Takže ta primitivní funkce jest:
$actg(tg(\frac{\varphi }{2}))+actg(\frac{1}{3}tg(\frac{\varphi }{2}))$ .

No a ještě potřebuji pomoc s tímto.
Když jsem měl na začátku daný ne neurčitý, ale určitý integrál:
$\int_{0}^{2\pi } \frac{2cos\varphi +4}{4cos\varphi +5} d\varphi$ .

Tak nevím, jak určit:
$[actg(tg(\frac{\varphi }{2}))+actg(\frac{1}{3}tg(\frac{\varphi }{2}))]_{\varphi =0}^{2\pi }$ .

Vůbec mi to nevychází. Má to vyjít $2\pi$ !
Wolfram mi to tak taky hází. ( $\int_{0}^{2\pi } \frac{2cos\varphi +4}{4cos\varphi +5} d\varphi=2\pi$ )
MAW mi to však háže 0, což "je špatně".
Já sám nevím, jak to spočítat.
Tohle: $actg(tg(\frac{\varphi }{2}))$ bych si možná mohl napsat pouze jako $\frac{\varphi }{2}$ , ne? (Odtud bych se dopracoval k $\pi$ .)
Ale co to "druhý"?
Když to počítám na kalkulačce nebo na netu, tak mi to háže samé nuly, takže nevím, jak se dopracovat k těm výsledným $2\pi$ .

jelena · 31. 10. 2014 21:46

Zdravím,

↑ inconnu: podívala jsem se na historii MAW (a také na WA) - v tom může být problém s jinak zavedenou definici v jednotlivých programech (případně se sudosti/lichosti - teď ale nevidím, kde by se to projevilo). Zkusím projít ručně (ale nebude to hned) :-) Případně bychom nahlásili v místní sekci podpory MAW.

Vidí něco kolega ↑ Bati:? Děkuji.

Bati · 01. 11. 2014 16:14 — Editoval Bati (01. 11. 2014 16:19)

↑ jelena:↑ inconnu:
Po tom částečném vydělení tam vyjde konstanta $\tfrac12$ . Tu je samozřejmě nejjednodušší zintegrovat zvlášť a dostat $\pi$ . Pokud budeme mechanicky pokračovat ve výpočtu pomocí MAW, tahle konstanta se vrátí zpátky do zlomku a na konci logicky vyjde $\arctan(\tan\tfrac{\varphi}2)=\tfrac{\varphi}2+k\pi$ .

Druhý problém je v tom, že "primitivní funkce" $\arctan(\tfrac13\tan\tfrac{\varphi}2)$ není spojitá v bodě $\pi\in(0,2\pi)$ , takže zde je potřeba slepit a zde dostaneme to chybějící $\pi$ , neboť arkustangens "poskočí" o celý svůj obor hodnot, tedy o $\pi$ .

jelena · 01. 11. 2014 21:20

↑ Bati:

Zdravím a děkuji. Já jsem se dívala přímo na vložení kolegy (bez úpravy) - kde MAW dává 0. Pokud mu předložím úpravu, tak dává $\pi$ (což je výsledek pro $\frac{x}{2}$ (jak jsi napsal).

"Kritický výsledek" je zde. Na toto se zeptám (později) v sekci CAS (kam vede podpora MAW). Spíš pokud mohu poprosit k praktickému ručnímu výpočtu:

Druhý problém je v tom, že "primitivní funkce" $\arctan(\tfrac13\tan\tfrac{\varphi}2)$ není spojitá v bodě $\pi\in(0,2\pi)$ , takže zde je potřeba slepit a zde dostaneme to chybějící $\pi$ , neboť arkustangens "poskočí" o celý svůj obor hodnot, tedy o $\pi$ .

pokud kolega zavede substituci $\mathrm{tg}$\frac{x}{2}$=t$ , v kterém okamžiku (a jak při výpočtu určitého integrálu) má zohlednit, že tuto substituci má pouze na $x\in(0,\pi)$ ? Děkuji.

Bati · 01. 11. 2014 22:43

↑ jelena:
Zohlednit to má tak, že si musí uvědomit, že daný výpočet primitivní funkce je korektní pouze na jistých intervalech.

Podrobněji:
Protože substituce $\mathrm{tg}$\frac{x}{2}$=t$ je definovaná pouze na intervalech $(-\pi+2k\pi,\pi+2k\pi)$ , musíme se při výpočtu primitivní funkce omezit na některý z těchto intervalů. Na tomto intervalu tedy provedeme daný výpočet. Je zřejmé, že tento výpočet proběhne na každém intervalu výše stejně, ovšem příslušné integrační konstanty jsou v tuto chvíli libovolné. Ze zadání víme, že existuje primitivní funkce na celém R, která musí být spojitá, takže dostáváme podmínky na integrační konstanty. Nám stačí zjistit, jak vypadá na $(0,2\pi)$ , proto stačí spočítat jednostranné limity v bodě $\pi$ a spojitě napojit.

inconnu · 01. 11. 2014 23:09

Jednostranné limity jsou $-\frac{\pi }{2}$ a $\frac{\pi }{2}$ , ne?
Co to znamená spojitě napojit? Jak se to provádí?

Bati · 01. 11. 2014 23:37

↑ inconnu:
Na $(-\pi,\pi)$ mi vyjde primitivní funkce $F_1(x)=\arctan(\tfrac13\tan\tfrac{\varphi}2)+c_1$ , na $(\pi,3\pi)$ pak $F_2(x)=\arctan(\tfrac13\tan\tfrac{\varphi}2)+c_2$ . Platí $F_1(\tfrac{\pi}2-)=\tfrac{\pi}2+c_1$ , $F_2(\tfrac{\pi}2+)=-\tfrac{\pi}2+c_2$ . Zvolím-li např. $c_1=0$ a $c_2=\pi$ , pak tyto funkce "na sebe napojím" a tuhle spojenou funkci nazvu primitivní funkci na celém $(-\pi,3\pi)$ .

Říká se tomu "lepení", pojem "spojité napojování" je zavádějící, protože nám nezáleží na hodnotě funkce v napojovaném bodě, ale jen na jejím chování v okolí.