Matematické Fórum

alfacentauri · 08. 11. 2014 17:16

Dobrý den,
jak prosím dokázat nebo vyvrátit následující věty?

1. $\exists \lim_{n\to\infty} (a_{n}),\exists \lim_{n\to\infty} (b_{n})\Rightarrow \exists \lim_{n\to\infty} (a_{n}+b_{n})$
2. $\exists \lim_{n\to\infty} (a_{n}),\exists \lim_{n\to\infty} (b_{n})\Rightarrow \exists \lim_{n\to\infty} (a_{n}\cdot b_{n})$
3. to samé jak 1. akorát, z toho že limity neexistují, vyplívá, že limita součtu taky neexistuje

Kdosi · 08. 11. 2014 18:18 — Editoval Kdosi (08. 11. 2014 18:18)

↑ alfacentauri:
Zdravím, řešil jsem tu na fóru součet, tak se podívej, je tam i celý důkaz: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=77633

vanok · 08. 11. 2014 18:19

Ahoj ↑ alfacentauri:,
1,2su jednoduche dokazat
3. Vzdy neplati
Priklad
(1,-1,1,-1,...)
(-1,1,-1,1,...)
Nekonverguju ale ich sucet je
(0,0,0,0,...) a ten konverguje...

Pre sucin skus sam.

jarrro · 08. 11. 2014 18:47 — Editoval jarrro (08. 11. 2014 18:47)

a keďže nikde nie je povedané, že ide o vlastné limity tak ani 1, 2 nie je pravda
napríklad
$a_n=n+\frac{$-1$^n}{2}\nl b_n=-n+\frac{$-1$^n}{2}$
resp.
$a_n=n\nl b_n=\frac{$-1$^n}{n}$

vanok · 08. 11. 2014 21:14 — Editoval vanok (08. 11. 2014 21:14)

Ahoj ↑ jarrro:,
Aha, potom ide o dalsiu anomaliu v pojmoch.
V angl, fr literature to co volas nevlastne limity su povazovane za dirigentne.
Pomaly tu bude treba prekladat zo svetovych jazykov kazdu pouzitu definiciu.
( to je skoda robit ine veci ako vadcina ludi)

Mali by sme otvorit vlakno :
Pouzivane pojmy po sk, cz a vo svetovych jazykoch?
Je to folklor, alebo skutocna brzda k dobremu vyjadreniu?

jarrro · 08. 11. 2014 21:57

↑ vanok:kde vidíš reč o konvergencii ja tam vidím len, že existujú limity

vanok · 08. 11. 2014 23:07

Ahoj ↑ jarrro:,
Ja nepolemizujem, na co dobre?
Pisem len o beznej terminologii.
Tak je to brzda... ci folklor?
Existuju limity =bezne vlastne limity ( = otazka dohody).
pekny zvysok vecera.

alfacentauri · 10. 11. 2014 18:30

Tak 1. už mám hotovou a teď mám trochu problém s 2.

$\lim_{n\to\infty}a_{n}=a$
$\lim_{n\to\infty}b_{n}=b$

$|(a_{n}b_{n})-(ab)|=|a_{n}b_{n}-a_{n}b+a_{n}b-ab|=|a_{n}(b_{n}-b)+b(a_{n}-a)|\le |a_{n}(b_{n}-b)|+|b(a_{n}-a)|<\varepsilon$

To by měl být správný postup, ale já v tom řešení nevidím.
Asi si musím zvolit $\varepsilon _{a},\varepsilon _{b}$

vanok · 10. 11. 2014 19:26 — Editoval vanok (10. 11. 2014 19:27)

Ahoj ↑ alfacentauri:,
( z pohladu kolegu Jarro predpokladaj ze ide o vlastne limity)
Pouzi metodu ako v tvojom rozvoji a dokaz,
$|a_nb_n-ab| \le |a_n||b_n-b|+|b_n||a_n-a|$
Vyber kladnu konstantu K vadciu ako vsetki $|a_n|$ , a ako aj $|b|$ ,
Potom
$|a_nb_n-ab| \le K(|b_n-b|+|a_n-a|)$
Tak to skus vyuzit, alebo ti treba pomoct?