Matematické Fórum

Kdosi · 25. 10. 2014 21:54

Pěkný večer, čtu Jarníkův Diferenciální počet I a vždy se snažím věty dokazovat dřív a sám. Myslím, že u jedné mě napadl o něco snazší (nebo aspoň pro mne trochu přímější) důkaz. Byl bych rád, kdyby jste mi řekli jestli je správně nebo ne. Kvůli mé lenosti budu psát $\lim(a_n)$ místo $\lim_{n\to\infty}a_n$ .
Věta: Budiž $\lim(a_n)<\lim(b_n)$ . Potom existuje $n_0$ tak, že pro $n>n_0$ jest $a_{n}\<b_{n}$ .

Důkaz: Nechť $\lim(a_n)=a$ a $\lim(b_n)=b$ .
Potom pro $\forall{\varepsilon>0}$ $\exists{n_a}$ takové, že $\forall{n>n_a}$ platí $|a_n-a|<\varepsilon$ .
Podobně $\forall{\varepsilon>0}$ $\exists{n_b}$ takové, že $\forall{n>n_b}$ platí $|b_n-b|<\varepsilon$ .
Nyní zvolme $n_0= Max(n_a, n_b)$ . Potom $\forall{n>n_0}$ platí $a_{n}<b_{n}$ .

tomson · 08. 11. 2014 11:01

↑ Kdosi:

neviem aký je dôkaz v Jarníkovi, lenže z toho ako si to tu napísal myslím že nie je hneď na prvý pohľad jasné prečo $\forall{n>n_0}:a_{n}<b_{n}$ preto je asi potrebné nejako vhodne zvoliť epsilon a možno aj použiť trojuholníkovú nerovnosť

Kdosi · 08. 11. 2014 13:44

Kdosi napsal(a):
Potom existuje $n_0$ tak, že pro $n>n_0$ jest $a_{n}\<b_{n}$ .

Všiml jsem si, že jsem se přepsal má tu být $a_{n}<b_{n}$

Ano, chápu proč tam mám chybu, takže oprava:
Nechť $\lim(a_n)=a$ a $\lim(b_n)=b$ .
Zvolme $\varepsilon=\frac{1}{2}(b-a)$ , tedy $\varepsilon>0$ . Platí, že $a+\varepsilon=b-\varepsilon$ .
$\exists{n_a}$ takové, že $\forall{n>n_a}$ platí $|a_n-a|<\varepsilon$ ,
podobně $\exists{n_b}$ takové, že $\forall{n>n_b}$ platí $|b_n-b|<\varepsilon$ .
Nyní zvolme $n_0= Max(n_a, n_b)$ . Potom $\forall{n>n_0}$ platí:
$a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon$
$b-\varepsilon<b_n<b+\varepsilon$ .
Tedy $a_n<a+\varepsilon=b-\varepsilon<b_n$