Matematické Fórum

Martina88 · 12. 08. 2014 15:00

Dobrý den, potřebovala bych poradit s tímto příkladem:
Určete vlastní čísla a vektory lineárního zobrazení:
x1+x2
2x2
X1+ 3x3

Předem děkuji za odpověď
Martina

Lukáš Ba-mat-fyz

ahoj ↑ Martina88:

Takže $\begin{pmatrix}x_{1} & x_{2} & 0\\ 0 & 2x_{2} & 0 \\ x_{1} & 0 & 3x_{3}\end{pmatrix}$ nám dáva $\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix}$ , čo je naša matica.
Vlastné čísla sa hľadajú ako $det|A-\lambda I|=0$ a vlastné vektory už len ako $(A-\lambda I)x=0$ pre každú lambda, ak ich je viac, zvlášť.

Martina88 · 12. 08. 2014 19:38

↑ Lukáš Ba-mat-fyz:

Děkuji za reakci. Můžu poprosit o celý výpočet. K tomuhle jsem taky došla, ale nevycházely mi ty čísla. Děkuji

Xellos · 12. 08. 2014 20:46

↑ Martina88:

Vies napisat $\det \begin{pmatrix}1-\lambda & 1 & 0\\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 3-\lambda\end{pmatrix}$ ? Ma to byt polynom.

Lukáš Ba-mat-fyz

↑ Martina88:

Sarusovo pravidlo, ak by si nevedela ako sa rata determinant 3*3 matice:)

kompik · 13. 08. 2014 10:25 — Editoval kompik (13. 08. 2014 10:25)

Asi jednoduchšie ako Sarrusovo pravidlo je všimnúť si, že tam máme jeden riadok s jediným nenulovým prvkom a použiť Laplaceov rozvoj:
$\begin{vmatrix} 1-x & 1 & 0 \\ 0 & 2-x & 0 \\ 1 & 0 & 3-x \end{vmatrix}= (2-x) \begin{vmatrix} 1-x & 0 \\ 1 & 3-x \end{vmatrix} = (2-x)(1-x)(3-x)$
(Alebo namiesto druhého riadku, ktorý som použil ja, sme mohli to isté urobiť s tretím stĺpcom.)

Martina88 · 13. 08. 2014 21:01

↑ kompik:

Vlastní čísla jsou tedy 3,2, a 1? Učitel nám napsal výsledek ale bohužel bez postupu. Mám tu, že vlastní vektor by měl být (-2,0,1) ale nevím jak k tomu došel :-(

jelena · 14. 08. 2014 09:59

↑ Martina88:

Zdravím,

měli jsme takové rozsáhlejší téma, cca 1/4 je pro vlastní čísla a vlastní vektory, projití vhodných materiálů snad pomůže více: teorie a sbírka příkladů, odkaz na ovline kontroly (Eigenvalues & Eigenvectors). Část odkazů v tématu je nefunkčních, potom opravím, ale podstatné jsem zde vložila.

Eratosthenes · 16. 08. 2014 13:59

ahoj ↑ Martina88:,

vidím stejný výsledek jako ↑ kompik:. Vlastní vektory získáš řešením rovnic

$(A-\lambda_i\cdot E)\vec h=0$

kde E je jednotková matice. A protože máš tři vlastní čísla budou i tři vlastní vektory.

jelena · 17. 08. 2014 22:44

↑ Eratosthenes:

Zdravím,

kolega ↑ kompik: o žádném výsledku nepojednává (má jen rozklad, není ani sestavena rovnice). I když u kolegy kompika ani na okamžik nepochybuji, že výsledek vidí :-) O přístupu k řešení (i o počtu vlastních vektorů s ohledem na počet vlastních hodnot se píše již od 2. příspěvku ↑ Lukáš Ba-mat-fyz:), ale z reakcí autorky tématu mám dojem, že celkově má trochu potíž celý studovaný okruh zařadit, proto doporučuji se zaměřit nejdřív na materiály.

Učitel nám napsal výsledek ale bohužel bez postupu. Mám tu, že vlastní vektor by měl být (-2,0,1) ale nevím jak k tomu došel :-(

z toho se těžko usuzuje, zda učitel jako vzor ukázal výsledek jen jednoho vektoru? No uvidíme, zda se kolegyně posune vpřed.

kompik · 18. 08. 2014 17:02

Martina88 napsal(a):
↑ kompik:

Vlastní čísla jsou tedy 3,2, a 1? Učitel nám napsal výsledek ale bohužel bez postupu. Mám tu, že vlastní vektor by měl být (-2,0,1) ale nevím jak k tomu došel :-(

Ľahko sa dá skontrolovať, že:

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$

Na základe toho usudzujem, že používate stĺpcové vektory.

Vidno, že tento vektor je (stĺpcový) vlastný vektor k vlastnému číslu 1.

**********

Ak hľadám vlastný vektor k vlastnému číslu $\lambda$ , znamená to, že chcem aby platilo
$Ax=\lambda x$
čo je ekvivalentné s
$(A-\lambda I)x=0$ .
Teda vektor x môžem nájsť riešením homogénnej sústavy s maticou $A-\lambda I$ .

Ak $\lambda=1$ tak riešim sústavu s maticou $A-I=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{pmatrix}$ .

Podobne budem postupovať pri ostatných vlastných hodnotách.

Forest · 10. 11. 2014 21:10

Když už jsem u těch vlastních čísel a vlastních vektorů, zajímalo by mě, jak zjistit vlastní vektory této matice:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-11/50148_matice.png

Vlastní čísla se spočítají jako kořeny kvadratické rovnice, která vznikne po výpočtu determinantu:

Hodnoty jednotlivých kořenů se poté dosazují do základní matice a počítají se vlastní vektory, které přísluší vlastním číslům.

Pro první kořen:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-11/50215_dosaz.%2B1.%2Bko%25C5%2599en.png

pro druhý kořen:

Tolik teorie z mé strany, ted k mému dotazu. Můžete mi někdo prosím polopaticky popsat, jak se zjistí ty dva vektory, které přísluší tomu druhému kořenu? A proč jsou ty vektory vlastně dva? Je to proto, že se v matici vynulovaly dva řádky? Prosím o detailní rozepsání postupu, jak zjistit ty dva zpropadený vektory. Mockrát děkuji.

Matematické Fórum

#1 12. 08. 2014 15:00

Vlastní čísla a vektory

#2 12. 08. 2014 15:08 — Editoval Lukáš Ba-mat-fyz (12. 08. 2014 15:09)

Re: Vlastní čísla a vektory

#3 12. 08. 2014 19:38

Re: Vlastní čísla a vektory

#4 12. 08. 2014 20:46

Re: Vlastní čísla a vektory

#5 13. 08. 2014 08:43 — Editoval Lukáš Ba-mat-fyz (13. 08. 2014 08:45)

Re: Vlastní čísla a vektory

#6 13. 08. 2014 10:25 — Editoval kompik (13. 08. 2014 10:25)

Re: Vlastní čísla a vektory

#7 13. 08. 2014 21:01

Re: Vlastní čísla a vektory

#8 14. 08. 2014 09:59

Re: Vlastní čísla a vektory

#9 16. 08. 2014 13:59

Re: Vlastní čísla a vektory

#10 17. 08. 2014 22:44

Re: Vlastní čísla a vektory

#11 18. 08. 2014 17:02

Re: Vlastní čísla a vektory

Martina88 napsal(a):

#12 10. 11. 2014 21:10

Re: Vlastní čísla a vektory

Zápatí