Matematické Fórum

perdy · 02. 03. 2009 20:35

Zdravím, potreboval by som určiť $\sum_{i=1}^{\infty} a_i$ , kde $a_0 = 0$ a $a_n = p(1-p)(p^2+a_{n-1})$ , $p \in <0,1>$ .

Skúšal som si spočítať niekoľko čiastočných súčtov, ale žiadnu zákonitosť som v tom nenašiel.

Ak vás nič nenapadá, spočítam to numericky, ale zaujímalo by ma analytické riešenie.

Marian · 02. 03. 2009 20:59

↑ perdy:
Rekurze pro členy řady by se mohla uvážit jako rekurentní rovnice s počáteční podmínkou a_0=0. Ta se vyřeší a máme explicitní předpis pro a_n. Poté bych sčítal. Pokud by navíc měla řada konvergovat, musela by existoval limita $\lim_{n\to\infty}a_n$ a podle nutné podmínky konvergence by se musela rovnat nule. Jenže se ukáže, že to není možné (např. pro p=1/2 dostaneme hodnotu limity 1/12), vyjma hodnot parametrů p=0 a p=1. V tomto případě ale jsou všechny členy řady nulové a tudíž také součet nekonečné řady bude nulový.

Snad jsem nic nepřehlédnul.

perdy · 02. 03. 2009 21:04

↑ Marian:
Ďakujem.

Že to pre niektoré p diverguje, je škrt cez rozpočet. Je možné, že som urobil ešte niekedy predtým chybu. V každom prípade by ma (do budúcnosti) zaujímalo, ako si prišiel na explicitný tvar pre a_n. Mohol by si to prosím rozviesť?

Pavel Brožek

Jestli jsem počítal dobře, tak mi ta suma konverguje pouze pro p rovno nule nebo jedné, jinak diverguje. Postupoval jsem tak, že jsem nejdříve našel lepší vyjádření n-tého členu

$a_n=p^3(1-p)\frac{1-p^n(1-p)^n}{1-p(1-p)}$ ,

z toho je už zřejmé, kdy suma bude konvergovat a kdy divergovat.

Edit: Jsem pomalý :-)

perdy · 02. 03. 2009 21:16

↑ BrozekP:
Áno, to je pekné, ale stále neviem, ako ste obaja prišli na explicitný tvar pre a_n.

Pavel Brožek

↑ perdy:

Napiš si pár prvních členů, uvidíš (samozřejmě je nutné to dokázat), že je

$a_n=p^2\sum_{i=1}^n[p(1-p)]^i$ .

perdy · 02. 03. 2009 21:20

↑ BrozekP:

Čakal som nejakú mágiu :)
Prvé členy som si napísal, ale zrejme máš lepšie oči/väčšiu prax/proste niečo, čo nemám ja.

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2009 20:35

Súčet řady

#2 02. 03. 2009 20:59

Re: Súčet řady

#3 02. 03. 2009 21:04

Re: Súčet řady

#4 02. 03. 2009 21:14 — Editoval BrozekP (02. 03. 2009 21:15)

Re: Súčet řady

#5 02. 03. 2009 21:16

Re: Súčet řady

#6 02. 03. 2009 21:18 — Editoval BrozekP (02. 03. 2009 21:20)

Re: Súčet řady

#7 02. 03. 2009 21:20

Re: Súčet řady

Zápatí