Matematické Fórum

Callme · 18. 11. 2014 23:07

Cavte ako zistim H(f) funkcie
$arctg\frac{3x^2+2}{2x^2+1}$ ?
Skusal som cez inverznu funkciu $x=arctg\frac{3y^2+2}{2y^2+1}$ no neviem ako ju upravit

Freedy · 18. 11. 2014 23:30

Ahoj,

funkce arctg(x) je spojitá funkce, rostoucí na celém svém definičním oboru R.
Je omezená zdola a shora hodnotami -pi/2 a pi/2. Její obor hodnot je tedy:
$f(x)=\text{arctg}(x),H_f=(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$
Pokud hledáš obor hodnot funkce
$f(x)=\text{arctg}(\frac{3x^2+2}{2x^2+1})$
je dobré si zjistit, jakých hodnot bude nabývat funkce:
$g(x)=\frac{3x^2+2}{2x^2+1}=\frac{3(x^2+\frac{1}{2})+\frac{1}{2}}{2(x^2+\frac{1}{2})}=\frac{3}{2}+\frac{1}{4x^2+2}$
Soustřeďmě se tedy na funkci:
$g(x)=\frac{3}{2}+\frac{1}{4x^2+2}$
Zlomek $\frac{1}{4x^2+2}$ nabývá pro kterýkoliv x z R kladných hodnot.
Nejmenší hodnotu bude mít daný zlomek zřejmě v + a - nekonečnu. Kdežto největší hodnotu bude mít v bodě 0.
Obor hodnot funkce $g(x)=\frac{3}{2}+\frac{1}{4x^2+2}$ je tedy $H_g=(\frac{3}{2};2\rangle$

Obor hodnot funkce
$f(x)=\text{arctg}(\frac{3x^2+2}{2x^2+1})$ tedy budou veškeré hodnoty arctan, mezi 3/2 a 2 (včetně)
Díky znalosti, že daná funkce je rostoucí a spojitá, je to tedy interval:
$H_f=(\text{arctan}(\frac{3}{2});\text{arctan}(2)\rangle\approx (0,982;1,107\rangle$

jelena · 19. 11. 2014 00:09

↑ Freedy:

Zdravím, děkuji, jen k úplnému závěru - hlasoval jsi u kolegy Jarrro? Děkuji.

Freedy · 19. 11. 2014 00:48 — Editoval Freedy (19. 11. 2014 00:52)

;) ano právě teď... Mě přijde, že interval, kde se vyskytují arctany, není až natolik obecný, aby bylo zbytečné vypsat aspoň pár desetinných míst. V případe hyperbolických funkcí to mate ještě víc například.

a ještě malý dotaz. Čas vános už se blíží, je to snad důvod používat * místo \cdot ? :D

Rumburak · 19. 11. 2014 10:00

↑ Callme:

Ahoj.

Není to žádná velká věda. Nechť $f(x) := \arctan \frac{3x^2+2}{2x^2+1}$ . Napíšeme si rovnici

(1) $f(x) = p$ , tj. $\arctan \frac{3x^2+2}{2x^2+1} = p$

s parametrem $p$ a neznámou $x$ a zkoumáme její řešitelnost v závislosti na parametru . Platí:

$p \in H(f)$ právě tehdy, když rovnice (1) má řešení.

V dalším budu předpokládat, že jde o úlohu z teorie reálných funkcí reálné proměnné.

Z průběhu funkce $\arctan$ plyne, že nutnou podmínkou pro řešitelnost rovnice (1) v reálnám oboru je

$p \in $-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}$$ .

Za tohoto předpokladu je rovnice (1) ekvivalentní s rovnicí

$\frac{3x^2+2}{2x^2+1} = \tan p$

a při dalším postupu už vystačíme se středoškolskou algebrou .

jelena · 19. 11. 2014 12:44

Zdravím v tématu,

↑ Freedy: můžeš vypsat třeba do komentáře, kde cca na číselné ose obor najdeme, ale ne do výsledného zápisu oboru (to je i takový nepěkný zvyk i třeba počítat výsledek rovnic a zapisovat zaokrouhleně). Ale v tématu je vážená autorita - kolega ↑ Rumburak:, tak to určitě zkritizuje, pokud nemám pravdu.

Freedy napsal(a):
Díky znalosti, že daná funkce je rostoucí a spojitá, je to tedy interval:

funkce je sudá, tedy není rostoucí na celém def. oboru - tak?

Jinak s kolegou jsme podobnou funkci diskutovali (zde je to použitelné pro vnitřní), případně i využití inverzní funkce by bylo použitelné (nezapomenout, že funkce není prostá). + viz kolega ↑ Rumburak:.

Mě přijde

Čas vános už se blíží, je to snad důvod používat * místo \cdot ? :D

No jestli mně :-) to pomůže od trudnomyslnosti z blížení se tohoto období, tak bych použila všechno. Měli bychom podpořit trend nešíření OT komentářů v tématu (když na to ještě nemáme speciální úpravu), tak alespoň barvou textu. Tedy děkuji za hlasování a zpět k tématu, které kolega mezitím označil za vyřešené.

Freedy · 20. 11. 2014 00:11

Freedy napsal(a):
Díky znalosti, že daná funkce je rostoucí a spojitá, je to tedy interval:

funkce je sudá, tedy není rostoucí na celém def. oboru - tak?

Ahoj podruhé, pokud se pozorně podíváš, já toto netvrdím o funkci zmínené v tématu, nýbrž o samostatné funkci arctan(x) která je spojitá a rostoucí na celém intervalu, proto sem si mohl dovolit přepsat interval:
$(\text{arctan}\frac{3}{2};\text{arctan}2\rangle$

jelena · 20. 11. 2014 12:32

↑ Freedy:

Také pozdrav,

jsem četla v této části textu:

Obor hodnot funkce
$f(x)=\text{arctg}(\frac{3x^2+2}{2x^2+1})$ tedy budou veškeré hodnoty arctan, mezi 3/2 a 2 (včetně)
Díky znalosti, že daná funkce je rostoucí a spojitá, je to tedy interval:
$H_f=(\text{arctan}(\frac{3}{2});\text{arctan}(2)\rangle\approx (0,982;1,107\rangle$

Tak beru, že danou funkci rozumíš tu, co je nad větou $f(x)=\text{arctg}(\frac{3x^2+2}{2x^2+1})$ . Tak tato podle mne není rostoucí na celém D(f) (ale možná, že neumím pozorně číst).

Důležité, že je všechno jasné autorovi tématu.

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2014 23:07

Obor hodnôt

#2 18. 11. 2014 23:30

Re: Obor hodnôt

#3 19. 11. 2014 00:09

Re: Obor hodnôt

#4 19. 11. 2014 00:48 — Editoval Freedy (19. 11. 2014 00:52)

Re: Obor hodnôt

#5 19. 11. 2014 10:00

Re: Obor hodnôt

#6 19. 11. 2014 12:44

Re: Obor hodnôt

Freedy napsal(a):

#7 20. 11. 2014 00:11

Re: Obor hodnôt

Freedy napsal(a):

#8 20. 11. 2014 12:32

Re: Obor hodnôt

Zápatí