Matematické Fórum

Magda369 · 24. 11. 2014 19:43

Dobry den, chcem sa spytat na moj postup riesenia, ci sa teda aspon približuje k spravnemu :)
Mam za ulohu vyšetriť priebeh funkcie...
Odkaz
v odkaze mam popis mojho postupu a prosim o zhodnotenie postupu a nasmerovanie k spravnemu...v pripade spravnosti mozem postupovat v monotonnosti..
vopred dakujem za odpovede :)

Magda369 · 24. 11. 2014 19:58

y= $\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}-4}$

y´= $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^{2}-4)^{2}}}$

1. D(f)= R...kedze odmocnina nesmie mat zaporne hodnoty,tak by mohol byt D(f)= <0,∞)
2. Kedze som si zvolila R-body nespojitosti nema
3. Neviem ci spravne,ale dospela som k tomu,ze je párna
4. 1 priesečnik s osou x, priesecnik ma suradnice [0,0]-zaroven pociatok sustavy suradnic
5. Znamienka funkcie-> kedze som si funkciu definovala v celom R,tak 1 nulovy bod x=0
V intervale (-∞;0) nadobuda zaporne hodnoty a v intervale (0, ∞) kladne hodnoty

Magda369 · 24. 11. 2014 20:21

↑ Magda369:
Dobry den, chcem sa spytat na moj postup riesenia, ci sa teda aspon približuje k spravnemu :)
Mam za ulohu vyšetriť priebeh funkcie... prosim o zhodnotenie postupu a nasmerovanie k spravnemu...v pripade spravnosti mozem postupovat v monotonnosti..
vopred dakujem za odpovede :)

jelena · 24. 11. 2014 20:47

Zdravím,

3. odmocnina je definována také pro záporné hodnoty, tedy def. obor R, sudá (parná) mi vyšla také. Derivace překontroluj v MAW (ale zdá se mi v pořádku) + další body také kontroluj v MAW, ne ve WA.

1 priesečnik s osou x, priesecnik ma suradnice [0,0]-zaroven pociatok sustavy suradnic

To ne, pokud za x dosazuješ 0, tak y není 0. Jak hledáš průsečíky?

Znaménka také mám jinak - ale to až zkontroluješ průsečíky, potom se ještě ozvi. Děkuji.

Magda369 · 24. 11. 2014 22:48

↑ jelena:
Dakujem za opravy a doporucenie stranky na prekontrolovanie,avsak neviem tam zadat tretie odmocninu,aky na to pouzijem prikaz?
Priesecnik som robila podla vzoroveho prikladu,ale nemam k nemu zaznaceny postup,tak to som len tak od oka dosadila, pravdupovediac neviem dorátať :/ Len sa za x dosadzuje 0?
$P{x}=[x;0]$
0= $\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}-4}$
neviem ako mam dosadzat...

jelena · 24. 11. 2014 23:37

↑ Magda369:

3. odmocninu zadáme jako ^(1/3), tedy Tvá funkce je pro MAW: (x^2)^(1/3)-(x^2-4)^(1/3)

$P{x}=[x;0]$ , ano řešíme $0=\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}-4}$ , po úpravě $\sqrt[3]{x^{2}}=\sqrt[3]{x^{2}-4}$ umocníš levou a pravou stranu na třetí atd. Měla bys dojit závěru, že rovnice nemá řešení, tedy průsečík není.

Průsečík s osou y - dosazuješ $x=0$ . Pro určení znamének - mně by pomohlo buď si uvědomit, že $\sqrt[3]{x^{2}}>\sqrt[3]{x^{2}-4}$ pro každé x, nebo rozšířit jako zlomek výrazem do vzorce $a^3-b^3$ .

Ještě, pokud pomůže - jelikož funkce je sudá, tak můžeš vyšetřovat na polovině def. oboru (od x=0 do +oo ) a potom zakreslit symetricky na druhou polovinu def. oboru.

Magda369 · 25. 11. 2014 16:29

↑ jelena:
Ano, priesecnik s osou x teda neexistuje...po dosadeni do $P{y}=[0;y]$ ...po dosadeni $y=\sqrt[3]{4}$ ->co je teda priesecnik s osou y?
Na urcenie znamienok potrebujem rozsirit zlomok vami uvedenym vzorcom? Neviem aku by to malo podobu. To by bol ten nulovy bod,s ktorym by som si zvolila intervaly a urcila ci v nich klesa alebo rastie funkcia?
Zakkreslovat nemusim,budeme robit v programe,len potrebujem akoby odovzdat tie vlastnosti (ked to tak mozem nazvat) fukcie.

jelena · 25. 11. 2014 20:33

↑ Magda369:

ano, průsečíky mám stejně.

když rozšířím dle vzorce $\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}-4}=A-B=\frac{(A-B)(A^2+AB+B^2)}{A^2+AB+B^2}$ , tak v čitateli dostanu jen číslo se znaménkem, v jmenovateli je výraz vždy kladný, tedy bych jednoznačně určila znaménko funkce.

Jinak k metodu odhadu znaménka můžeš volit každou, ze které dokážeš odvodit znaménko na celém def. oboru. Např. tento odhad $\sqrt[3]{x^{2}}>\sqrt[3]{x^{2}-4}$ , pokud ho odůvodníš také. V této úloze je nakonec i dostačující, že funkce je spojitá na celém def. oboru a nemá průsečík s osou x, tedy nemění znaménko. Potom stačí určit znaménko funkce v některém bodu (stejné znaménko bude mít funkce na celém def. oboru). Např. můžeš využit již hodnotu funkce v průsečíku s osou y.

o by bol ten nulovy bod,s ktorym by som si zvolila intervaly a urcila ci v nich klesa alebo rastie funkcia?

to už pravděpodobně mluvíš o vyšetření monotonnosti funkce - spíš využitím derivace. U derivace je třeba dat si pozor, že pro x=0 derivace není definována, záleží zda potřebuješ podrobněji rozebírat jednostranné derivace, nebo stačí když tento bod označíš za stacionární a tak došetříš.

Magda369 · 25. 11. 2014 22:13

Obrovska vdaka za vase cenne rady a obzvlast za vasu trpezlivost :)
Pri urcovani znamienka som si teda zvolila hodnotu funkcie v priesecniku s osou y-> cize mozem si zvolit intervaly
$(-\infty ;\sqrt[3]{4})$ a $(\sqrt[3]{4};\infty )$ v oboch intervaloch mi vyjdu
kladne funkčne hodnoty...
Monotonnost sme si urcovali v style-> dosadenie do 1.derivacie $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^{2}-4)^{2}}}$ najdem si nulove/stacionarne body 1.derivacie-> $x_{1}=0, x_{2}=2, x_{3}=-2$ ...To sme si uvadzali ako body podozrive z extremu. Nulove body nam rozlozia cisel.os na 4 intervaly a vyslo mi ze v intervaloch $(-\infty ;-2),(-2,0)$ funkcie klesa a v $(0,2),(2,\infty)$ funkcia rastie-> neviem ci je to spravne urcene.
NAsledne sme urcovali intervaly konvexnosti a konkavnosti za pomoci inflexnych bodov z 2.derivacie. 2.derivaciu som si pozerala na vami doporucenej stranke MAW a to vyzera riadna divočina-same zlomky,k dopracovaniu je nutne urcit si inflexne body a znova rozdelia cisel.os na intervaly a nasledne by sa urcila konkavnost/konvexnost.

jelena · 26. 11. 2014 00:14

↑ Magda369:

nemáš za co.

Pri urcovani znamienka som si teda zvolila hodnotu funkcie v priesecniku s osou y-> cize mozem si zvolit intervaly

To ani nemusíš volit do intervalů - z faktu, že funkce nemá průsečík s oso x ze znaménka jedné hodnoty můžeš udělat závěr pro znaménka na celém def. oboru.

Ohledně stacionárních bodů souhlasím (kde derivace neexistuje), ale ještě překontroluj znaménka 1. derivace - mně vychází na $(-\infty ;-2)$ kladné, naopak na $(2,\infty)$ záporná 1. derivace. Stačí, když pořádně dosadíš některý bod i těchto intervalů (pozor na všechna znaménka při dosazování).

MAW opravdu pro 2. derivaci vyrábí "divočinu". Zkusím se podívat, jak to bude vypadat, když bych upravovala ručně (jen derivováním $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^{2}-4)^{2}}}$ ). Jelikož ale pro řešení používáte program, tak nalezení nulových bodů můžeš svěřit programu (tipuji ale, že podezřelé budou jen body, ve kterých 2. derivace neexistuje - tedy opět -2, 0, 2).

Magda369 · 26. 11. 2014 19:16

↑ jelena:
Ano,vdaka za opravu znamienok pri urcovani monotonnosti,ja som to zrejme zle podosadzovala :/
Este som skusala tu 2.derivaciu na inej stranke a tam vyšla nasledovne $-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^4}}-(-\frac{2(x^4+8x^2-48)}{9\sqrt[3]{(x^2-4)^8}})$ cize ako ste tipovali znova mame podozrive inflex.body -2,0,2?

jelena · 26. 11. 2014 22:30

↑ Magda369:

také děkuji, pokud to tak vyšlo (mělo by, pokud nebudeme používat úpravu na společný jmenovatel, MAW by ale také měl dávat více variant úprav?), potom zkoušela jsem upravit $-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^4}}-(-\frac{2(x^4+8x^2-48)}{9\sqrt[3]{(x^2-4)^8}})=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^4}}+\frac{2((x^2+12)(x^2-4)}{9(x^2-4)^2\sqrt[3]{(x^2-4)^2}})$

a řešíme rovnici:

$-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^4}}+\frac{2(x^2+12)}{9(x^2-4)\sqrt[3]{(x^2-4)^2}}=0$
$\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}=\frac{x^2+12}{(x^2-4)\sqrt[3]{(x^2-4)^2}}$
$\frac{1}{x^4}=\frac{(x^2+12)^3}{(x^2-4)^5}$ , zde jsem použila substituci $x^2-4=t$

$\frac{1}{(t+4)^2}=\frac{(t+16)^3}{t^5}$ , ale pořád to není upravitené na ruční výpočet, tedy věřit strojům, že řešení v R není a zůstávají pouze body, ve kterých 2. derivace nebyla definována (-2, 0, 2). Předchozí úpravy jsem prováděla s ohledem na podmínky, kde výraz neplatí.

Tak tento bod ještě dokončí (vyšetřením znamének 2. derivace). Zde by se vyplatila úspora, že funkce je sudá - všechno bys vyšetřovala jen na polovině def. oboru (na x=0 až +oo), jak jsem již psala.

Ještě snad asymptoty a to už by mělo být hotovo.

Magda369 · 29. 11. 2014 01:10

↑ jelena:
Znova sa hlasim o radu.Vdaka za radu o uspore,ale zial ju neviem vyuzit. Mali sme vzorovy priklad kde sme z 2.derivacie z citatela urcovali inflexne body a tie dali do intervalov a nasledne urcili konvexnost /konkavnost. Mätia ma to ci teda mozem inflexne body mat -2,0,2. To asi zrejme zalezi od prikladu.
Asymptota rovnobezna s osou y nema (sme si uvadzali,ked nema body nespojitosti ako tato funkcia).
Asymptota rovnobezna s osou x->tam je treba limity v nevlast.bode lim +- ∞ a to mi vyjde 0, tak funkcia bude mat asymptotu rovnobež.s osou x priamo o rovnicu y=0??
A na asymptotu so smernicovou neviem postup :/

jelena · 29. 11. 2014 09:41

↑ Magda369:

Zdravím,

úspora by byla v tom, že budeme dosazovat menší počet "kontrolních" bodů: Když jme rozdělili def. obor na intervaly $(-\infty ;-2)$ , $(-2,0)$ , $(0,2)$ , $(2,\infty)$ , tak pro sudou funkci všechno provedeš jen na $(0,2)$ , $(2,\infty)$ a na bodech $x=0,$ $x=2$ . Tak vznikne pravá větev funkce. Levou potom symetricky jen dokreslíš.

...intervalov a nasledne urcili konvexnost /konkavnost. Mätia ma to ci teda mozem inflexne body mat -2,0,2. To asi zrejme zalezi od prikladu.

Ano, intervaly musíš mít kompletně, ale pokud jsi prokázala, že fukce je sudá, tak stačí potom dosazovat body jen z poloviny intervalů. My jsme ručně (a s WA) nenašli pro 2. derivaci nulové body, tedy na rozdělení intervalů používáme pouze body, ve kterých derivace neexistuje (byly v jmenovateli), jsou to -2, 0, 2.

Asymptoty bez směrnice nejsou - ano. Asymptoty se směrnici - buď vyšetřuješ podle definice, nebo tak, jak jsi provedla (pokud to bylo "dobře vidět" z limity funkce v nekonečnu)

Asymptota rovnobezna s osou x->tam je treba limity v nevlast.bode lim +- ∞ a to mi vyjde 0, tak funkcia bude mat asymptotu rovnobež.s osou x priamo o rovnicu y=0??

Asymptota rovnoběžná s osou x je ve skutečnosti asymptota se směrnici ve tvaru $y=kx+q$ , $k=0$ , $q=0$ . Dodělej ještě podle definice (měla by vycházet stejně) a ať máš splněny povinné body vyšetření.

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2014 19:43

Priebeh funkcie

#2 24. 11. 2014 19:53 Příspěvek uživatele Magda369 byl skryt uživatelem Magda369.

#3 24. 11. 2014 19:58

Re: Priebeh funkcie

#4 24. 11. 2014 20:21

Re: Priebeh funkcie

#5 24. 11. 2014 20:47

Re: Priebeh funkcie

#6 24. 11. 2014 22:48

Re: Priebeh funkcie

#7 24. 11. 2014 23:37

Re: Priebeh funkcie

#8 25. 11. 2014 16:29

Re: Priebeh funkcie

#9 25. 11. 2014 20:33

Re: Priebeh funkcie

#10 25. 11. 2014 22:13

Re: Priebeh funkcie

#11 26. 11. 2014 00:14

Re: Priebeh funkcie

#12 26. 11. 2014 19:16

Re: Priebeh funkcie

#13 26. 11. 2014 22:30

Re: Priebeh funkcie

#14 29. 11. 2014 01:10

Re: Priebeh funkcie

#15 29. 11. 2014 09:41

Re: Priebeh funkcie

Zápatí