Matematické Fórum

alfacentauri · 06. 12. 2014 17:27

Ahoj, mám tu 2 limity s parametrem se kterými si nevím moc rady.

$\lim_{x\to0}\frac{ln(cos(ax))}{ln(cos(bx))}$

$\lim_{x\to a}\frac{a^{x}-x^{a}}{x-a}$
U téhle bych se skoro vsadil, že to povede ta tvar $\lim_{y\to0}\frac{\mathrm{e}^{y}-1}{y}=1$ ale nedokážu to upravit.

L'H se používat nesmí.
Díky za pomoc.

Argcotgh x · 06. 12. 2014 17:47

2.limita - odečtením a přičtením a^a v čitateli se získají 2 další limity

a^x - a^a
lim _________ a
x=>a x - a

x^a - a^a
lim _________
x=>a x - a

1.limita se s použitím vzpomínaného vzorce vyřeší na a^a . ln a,

mezikrokem je převedením čitatele na mocniny o základu e.

2.limita podobným způsobem na a . a^(a-1)

Celkově limita = a^a . ln a - a . a^(a-1) = a^a . (ln a - 1)

Argcotgh x · 06. 12. 2014 18:04

1.limita

využije se limity

ln (1 + x)
lim _________ = 1
x=>0 x

a že cos (a.0) = cos (b.0)=1

ln cos (ax) ln (1 + cos (ax) - 1)
lim _________ = __________________ =
x=>0 ln cos (bx) ln (1 + cos (bx) - 1)

ln (1 + cos (ax) - 1) cos (bx) - 1 cos (ax) - 1
lim _________________ . _________________ . _____________ =
x=>0 cos (ax) - 1 ln (1 + cos bx) - 1) cos (bx) - 1

1 - cos ax
a^2 . _________
(ax)^2 a^2
= 1 . 1/1 . lim ___________________ = _____
x=>0 1 - cos bx b^2
b^2 . _________
(bx)^2

Na konci se využilo limity
1 - cos x
lim _________ = 1/2.
x=>0 x^2

alfacentauri · 07. 12. 2014 14:08

Díky za příspěvek, už v tom vidím ten postup. Jenom mi to nějak nevychází.

Ten první člen 1. limity mi vyšel správně, ale druhý mi vychází takto:

$\lim_{x\to a}\frac{x^{a}-a^{a}}{x-a}=\lim_{x\to a}[\frac{a^{a}((\frac{x}{a})^{a}-1)}{a}\cdot \frac{a}{x-a}]=\lim_{x\to a}[\frac{a^{a}(\mathrm{e}^{a\cdot ln(\frac{x}{a})}-1)}{a\cdot ln(\frac{x}{a})}\cdot \frac{a}{x-a}\cdot ln(\frac{x}{a})]=\lim_{x\to a}[a^{a}\cdot ln(\frac{x}{a})\cdot \frac{a}{x-a}]$

A 2. u druhé limity jenom prosím o ujasnění proč:

$\lim_{x\to0}\frac{cos(ax)-1}{cos(bx)-1}=\lim_{x\to0}\frac{a^{2}\frac{1-cos(ax)}{(ax)^{2}}}{b^{2}\frac{1-cos(bx)}{(bx)^{2}}}$

Nevidím kam se ztratilo to $x$ u $a^{2}$ a $b^{2}$

Argcotgh x · 07. 12. 2014 14:32

To x u a^2 a b^2 se neztratilo, vzal jsem prostě člen 1 - cos (ax) = (-1).(cos (ax) -1) a rozšířil ho členem

a^2
______
(ax)^2

abych dostal člen

1 - cos (ax)
__________
(ax)^2

jehož limita (ax --> 0) je 1/2.

To samé ve jmenovateli s b.

Mohl jsem si to dovolit, protože takto zapsáno se a^2 zkrátí s a^2 a x^2 se zkrátí ve jmenovatelích.

To x se tedy neztratilo, přidal jsem ho tam spolu s "a" a členu (cos ax - 1) jsem "neublížil" :-)

Argcotgh x · 07. 12. 2014 14:51

2.limita

x^a - a^a e^(a.ln x) - e^)a.ln a) e^a(ln x - ln a) - 1
lim ___________ = ____________________ = lim [ e^(a.ln a) . ___________________ ] =
x-->a x - a x - a x-->a x - a

e^a(ln x - ln a) - 1 a . (ln x - ln a)
e^a.ln a . lim [ ________________ . __________________ ] =
x-->a a.(ln x - ln a) x - a

e^a(ln x - ln a) - 1 ln x - ln a
a^a . a . lim _____________________ . lim __________ = a. a^a . 1 . 1/a = a . a^(a-1)
x-->a a.(ln x - ln a) x-->a x - a

Limita

ln x - ln a ln x/a ln (1 + [(x/a) - 1])
lim __________ = lim ___________ = 1/a . lim _____________________ = 1/a . 1 = 1/a
x-->a x - a x-->a a . (x/a) - 1 x-->a x/a - 1

kde se využilo limity
ln (1+y)
lim ___________ = 1
x-->0 y

alfacentauri · 07. 12. 2014 15:28

Už to všechno vidím! Moc si mi pomohl, díky.

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2014 17:27

limity s parametrem

#2 06. 12. 2014 17:47

Re: limity s parametrem

#3 06. 12. 2014 18:04

Re: limity s parametrem

#4 07. 12. 2014 14:08

Re: limity s parametrem

#5 07. 12. 2014 14:32

Re: limity s parametrem

#6 07. 12. 2014 14:51

Re: limity s parametrem

#7 07. 12. 2014 15:28

Re: limity s parametrem

Zápatí