Matematické Fórum

Argcotgh x · 09. 12. 2014 19:33

Ahoj, už si nevím rady s integrálem

$\int_{}^{}x.\sqrt{x^2-2x+2}dx$

vypadá triviálně, ale o to je složitější. Zkoušel jsem Eulerovy substituce, ale dostal jsem strašně složité výrazy. Mohl by prosím někdo poradit? Dík

Argcotgh x · 09. 12. 2014 20:18

Našel jsem jen výsledek:

I = $\frac{x^2-2x+2.\sqrt{x^2-2x+2}}{3} -$ $\frac{\sqrt{x^2-2x+2}}{2}$ $+ln |\sqrt{x^2-2x+2}+x-1|$

Jj · 09. 12. 2014 20:23

↑ Argcotgh x:

Zdravím.

Nic 'moudrého' mě nenapadá, jenom úprava a substituce

$\int x\cdot \sqrt{x^2-2x+2}\,dx=\int\left[(x-1)\sqrt{(x-1)^2+1)}+\sqrt{(x-1)^2+1)}\right]\,d(x-1)=$

$=\int\left[t\sqrt{t^2+1)}+\sqrt{t^2+1)}\right]\,dt$

což bude asi o kapánek jednoddušší.

Bati · 09. 12. 2014 20:27

Ahoj,
ty poslední 2 integrály v ↑ Jj: se dořeší snadno. První substitucí a druhý per partes.

Argcotgh x · 09. 12. 2014 20:31

Díky moc za inspiraci, snad to pomůže.

Zapomněl jsem na jeden člen, ten výsledek má být správně:

$\frac{x^2-2x+2.\sqrt{x^2-2x+2}}{3} -$ $\frac{x-1}{2}$ $\frac{\sqrt{x^2-2x+2}}{2}$ $+ln |\sqrt{x^2-2x+2}+x-1|$

Argcotgh x · 09. 12. 2014 20:34

Ahoj Bati, ty poslední dva integrály ani nemusím počítat, ty znám z hlavy :-) i ten s \sqrt{1+x^2}, jsou naprosto triviální.

Teď jde už jen o to, jestli je postup substituce správný.

Argcotgh x · 09. 12. 2014 22:47

Taxem to spočítal a dosadil a skutečně to vyjde !!! Netušil jsem, že na to zafunguje tak jednoduchá metoda. Díky moc !!!

Akorát u toho členu s logaritmem mi před ním vychází koeficient 1/2, ale to je asi numerická chyba.

Jinak při výpočtu integrálu

$\int_{}^{}\sqrt{1+x^2}dx$

je užitečné vědět vztah
$argsinh x = ln|x+\sqrt{1+x^2}|$

Jj · 09. 12. 2014 22:57

↑ Argcotgh x:

:)

Brano · 09. 12. 2014 23:55

da sa to robit aj rovno eulerovou substituciou $\sqrt{x^2-2x+2}=y-x$

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2014 19:33

Integrál

#2 09. 12. 2014 20:18

Re: Integrál

#3 09. 12. 2014 20:23

Re: Integrál

#4 09. 12. 2014 20:27

Re: Integrál

#5 09. 12. 2014 20:31

Re: Integrál

#6 09. 12. 2014 20:34

Re: Integrál

#7 09. 12. 2014 22:47

Re: Integrál

#8 09. 12. 2014 22:57

Re: Integrál

#9 09. 12. 2014 23:55

Re: Integrál

Zápatí