Matematické Fórum

Fleischer · 11. 12. 2014 20:03

Úlohu jsem našel v jednom starém časopise a vyřešil ji čistě pokusně. Zajímalo by mne zda existuje i matematické řešení této úlohy. Úloha zní :
Na dvoře kasáren jsou do čtverce složeny dělové koule. Tyto koule je třeba přeskupit do pyramidy tak , aby po přeskupení žádná koule z původního čtverce nechyběla ani nepřebývala. Kolik musí být koulí, aby úloha měla řešení.

Honzc · 12. 12. 2014 10:42 — Editoval Honzc (15. 12. 2014 06:02)

↑ Fleischer:
"Matematicky" (tzn. nějakou rovnicí pro počet koulí ve tvaru p=..) to asi nejde, ale nicméně lze si to hodně ulehčit.
Označme počet "vrstev" pyramidy třeba n
Pak je jasné že počet koulí v jednotlivých vrstvách bude odshora dolů $1^{2}+2^{2}+...+n^{2}$ a tento součet musí být druhou mocninou nějakého čísla jež udává počet koulí na straně čtverce.
Součet řady se rovná $1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=p^{2}$
Vyloučíme-li nyní triviální řešení n=1 (tj. jedna koule ve čtverci a 1 koule v pyramidě), pak řešení můžeme očekávat ve tvaru $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=(x\cdot y)^{2}=x^{2}y^{2}$
Položíme-li nyní $\frac{n(n+1)}{6}=x^{2},\,2n+1=y^{2}$ můžeme jednoduchými úpravami dospět k rovnici
$x^{2}=\frac{y^{4}-1}{24}$
Má-li být výraz $\frac{y^{4}-1}{24}$ dělitelný 24 beze zbytku musí být y liché číslo
Vyloučíme-li y=1 (to by totiž dalo řešení n=0, což je nutné vyloučit), pak stačí zkoušet postupně y=3,5,7,...
Pro y=3 máme: $x^{2}=\frac{3^{4}-1}{24}$ -není celé číslo
y=5 : $x^{2}=\frac{5^{4}-1}{24}=26$ - 26 není druhou mocninou celého čísla
y=7 : $x^{2}=\frac{7^{4}-1}{24}=100$ - a protože $x^{2}=100\Rightarrow x=10$ máme řešení
Řešením je tedy $p=100\cdot 49=4900\,\text{koulí}$ (počet vrstev pyramidy $n=24$ )
Poznámka: Zkoušel jsem hledat řešení do počtu vrstev 10000000 a žádné další jsem už nenašel.

Fleischer · 12. 12. 2014 17:27

↑ Honzc:
Děkuji za zaslaný příspěvek. Je to opravdu nejefektivnější řešení daného problému. K výsledku 4900 koulí jsem nakonec došel také, ale trvalo mi to mnohem déle. Další řešení jsem ani nehledal, neboť v zadání úlohy bylo uvedeno, že existuje pouze jediné. Pro ty co by to zajímalo, úlohu jsem našel v Technickém magazínu (dnes už asi nevychází ) v rubrice " matematické rekreace "

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2014 20:03

Prostorová geometrie

#2 12. 12. 2014 10:42 — Editoval Honzc (15. 12. 2014 06:02)

Re: Prostorová geometrie

#3 12. 12. 2014 17:27

Re: Prostorová geometrie

Zápatí