Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 12. 2014 13:09 — Editoval Mihulik (08. 12. 2014 13:14)

Mihulik
Příspěvky: 175
Škola: MFF UK - Matematická analýza, Nav. Mag.
Pozice: student
Reputace:   
 

Ekvivalence slabých L^p norem

Ahoj,
nedávno jsem začal studovat slabé $L^p$ prostory. Definice slabé $L^p$ ($p\in(0; \infty)\,$) (quasi-) normy, která byla použita, je  $||f||_{L^{p, \infty}} = \sup_{t\in\left(0, \infty\right)} t^{\frac{1}{p}}f^*\left(t\right)$, kde $f^*(t)=\inf\{\lambda>0; \mu_f(\lambda)\leq t\}$, $\mu_f(\lambda) = \mu(\{x\in X; |f(x)|>\lambda\})$ a $(X, \mu)$ je  $\sigma$-konečný prostor s mírou. V jiném článku týkajícího se slabých $L^p$ jsem ovšem narazil na definici $||f||_{L^{p, \infty}} = \sup_{\lambda\in\left(0, \infty\right)} \lambda (\mu_f(\lambda))^\frac{1}{p}$. Nějak jsem sám sebe přesvědčil, že jsou tyto (quasi-)normy skutečně ekvivalentní (dokonce, že se rovnají).

Včera jsem se rozhodl si konečně pořádně precizně dokázat, že $\sup_{t\in\left(0, \infty\right)} t^{\frac{1}{p}}f^*\left(t\right) = \sup_{\lambda\in\left(0, \infty\right)}\lambda(\mu_f\left(\lambda\right))^\frac{1}{p}.$
K mému nemilému překvapení jsem se ale zasekl a nejsem schopný to dokázat. Dokázal jsem si pouze, že $f^*(\mu_f(\lambda))\leq\lambda$ (pokud $\mu_f(\lambda)<\infty$) a $\mu_f(f^*(t))\leq t$ (pokud $f^*(t) < \infty)$, ale nejsem schopný to použít k důkazu požadované rovnosti.

Platí ta rovnost vůbec? Případně, jsou tyto (quasi-)normy skutečně alespoň ekvivalentní? Pravděpodobně mi uchází něco snadného, ale po několika hodinách marných pokusů už jsem docela zoufalý a zdá se mi, že se stále "točím dokola"...

Děkuji za jakoukoliv pomoc!:)

Offline

 

#2 08. 12. 2014 21:58

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Ekvivalence slabých L^p norem

Ahoj,
je třeba využít toho, že funkce $|f|$ a $f^*$ jsou equimeasurable (stejné distribuční funkce), že $f^*$ je nerostoucí, a pak zaměnit suprema:
$\sup_{\lambda\in\left(0, \infty\right)} \lambda (\mu_f(\lambda))^\frac{1}{p}\nl
=\sup_{\lambda>0}\lambda\mu(\{|f|>\lambda\})^{\frac1p}\nl
=(\sup_{\lambda>0}\lambda^p\lambda(\{f^*>\lambda\}))^{\frac1p}\nl
=(\sup_{\lambda>0}\lambda^p\sup_{t>0}\{t:f^*(t)>\lambda\})^{\frac1p}\nl
=(\sup_{\lambda>0}\sup_{t>0}\{\lambda^pt:f^*(t)>\lambda\})^{\frac1p}\nl
=(\sup_{t>0}\sup_{\lambda>0}\{\lambda^pt>0:f^*(t)>\lambda\})^{\frac1p}\nl
=(\sup_{t>0}f^*(t)^pt)^{\frac1p}\nl
=\sup_{t\in(0,\infty)}t^{\frac1p}f^*(t)$.
Upozorňuju, že $\lambda$ značí jednak proměnnou (abych zachoval tvoje značení) ale také Lebesgueovu míru na R.

Offline

 

#3 09. 12. 2014 23:16

Mihulik
Příspěvky: 175
Škola: MFF UK - Matematická analýza, Nav. Mag.
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Ekvivalence slabých L^p norem

Tak to skutečně bylo jednoduché:)
Děkuji moc za pomoc - takhle mě to nějak vůbec nenapadlo rozepsat, takže bych nad tím hloubal ještě dlouho.

Ještě jednou moc děkuji!

Offline

 

#4 10. 12. 2014 10:55

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Ekvivalence slabých L^p norem

První vyjádření má jednoduchou geometrickou interpretaci v R (obdélníky vepsané grafu) a druhé vyjádření má výhodu v tom, že to je přirozená kvasi-norma na Lorentzových prostorech $L_{p,q}$ pro $q=\infty$ (tj. slabý $L^p$).

Offline

 

#5 13. 12. 2014 08:50

Mihulik
Příspěvky: 175
Škola: MFF UK - Matematická analýza, Nav. Mag.
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Ekvivalence slabých L^p norem

Tak jsem se s tím přesně setkal. Nejdříve s druhým vyjádřením, když jsem studoval obecné $p, q$ Lorentzovy prostory, a pak jsem narazil na první vyjádření. Ještě jednou děkuji za pomoc!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson