Matematické Fórum

Mihulik

Ahoj,
nedávno jsem začal studovat slabé $L^p$ prostory. Definice slabé $L^p$ ( $p\in(0; \infty)\,$ ) (quasi-) normy, která byla použita, je $||f||_{L^{p, \infty}} = \sup_{t\in\left(0, \infty\right)} t^{\frac{1}{p}}f^*\left(t\right)$ , kde $f^*(t)=\inf\{\lambda>0; \mu_f(\lambda)\leq t\}$ , $\mu_f(\lambda) = \mu(\{x\in X; |f(x)|>\lambda\})$ a $(X, \mu)$ je $\sigma$ -konečný prostor s mírou. V jiném článku týkajícího se slabých $L^p$ jsem ovšem narazil na definici $||f||_{L^{p, \infty}} = \sup_{\lambda\in\left(0, \infty\right)} \lambda (\mu_f(\lambda))^\frac{1}{p}$ . Nějak jsem sám sebe přesvědčil, že jsou tyto (quasi-)normy skutečně ekvivalentní (dokonce, že se rovnají).

Včera jsem se rozhodl si konečně pořádně precizně dokázat, že $\sup_{t\in\left(0, \infty\right)} t^{\frac{1}{p}}f^*\left(t\right) = \sup_{\lambda\in\left(0, \infty\right)}\lambda(\mu_f\left(\lambda\right))^\frac{1}{p}.$
K mému nemilému překvapení jsem se ale zasekl a nejsem schopný to dokázat. Dokázal jsem si pouze, že $f^*(\mu_f(\lambda))\leq\lambda$ (pokud $\mu_f(\lambda)<\infty$ ) a $\mu_f(f^*(t))\leq t$ (pokud $f^*(t) < \infty)$ , ale nejsem schopný to použít k důkazu požadované rovnosti.

Platí ta rovnost vůbec? Případně, jsou tyto (quasi-)normy skutečně alespoň ekvivalentní? Pravděpodobně mi uchází něco snadného, ale po několika hodinách marných pokusů už jsem docela zoufalý a zdá se mi, že se stále "točím dokola"...

Děkuji za jakoukoliv pomoc!:)

Bati · 08. 12. 2014 21:58

Ahoj,
je třeba využít toho, že funkce $|f|$ a $f^*$ jsou equimeasurable (stejné distribuční funkce), že $f^*$ je nerostoucí, a pak zaměnit suprema:
$\sup_{\lambda\in\left(0, \infty\right)} \lambda (\mu_f(\lambda))^\frac{1}{p}\nl =\sup_{\lambda>0}\lambda\mu(\{|f|>\lambda\})^{\frac1p}\nl =(\sup_{\lambda>0}\lambda^p\lambda(\{f^*>\lambda\}))^{\frac1p}\nl =(\sup_{\lambda>0}\lambda^p\sup_{t>0}\{t:f^*(t)>\lambda\})^{\frac1p}\nl =(\sup_{\lambda>0}\sup_{t>0}\{\lambda^pt:f^*(t)>\lambda\})^{\frac1p}\nl =(\sup_{t>0}\sup_{\lambda>0}\{\lambda^pt>0:f^*(t)>\lambda\})^{\frac1p}\nl =(\sup_{t>0}f^*(t)^pt)^{\frac1p}\nl =\sup_{t\in(0,\infty)}t^{\frac1p}f^*(t)$ .
Upozorňuju, že $\lambda$ značí jednak proměnnou (abych zachoval tvoje značení) ale také Lebesgueovu míru na R.

Mihulik · 09. 12. 2014 23:16

Tak to skutečně bylo jednoduché:)
Děkuji moc za pomoc - takhle mě to nějak vůbec nenapadlo rozepsat, takže bych nad tím hloubal ještě dlouho.

Ještě jednou moc děkuji!

Bati · 10. 12. 2014 10:55

První vyjádření má jednoduchou geometrickou interpretaci v R (obdélníky vepsané grafu) a druhé vyjádření má výhodu v tom, že to je přirozená kvasi-norma na Lorentzových prostorech $L_{p,q}$ pro $q=\infty$ (tj. slabý $L^p$ ).

Mihulik · 13. 12. 2014 08:50

Tak jsem se s tím přesně setkal. Nejdříve s druhým vyjádřením, když jsem studoval obecné $p, q$ Lorentzovy prostory, a pak jsem narazil na první vyjádření. Ještě jednou děkuji za pomoc!

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2014 13:09 — Editoval Mihulik (08. 12. 2014 13:14)

Ekvivalence slabých L^p norem

#2 08. 12. 2014 21:58

Re: Ekvivalence slabých L^p norem

#3 09. 12. 2014 23:16

Re: Ekvivalence slabých L^p norem

#4 10. 12. 2014 10:55

Re: Ekvivalence slabých L^p norem

#5 13. 12. 2014 08:50

Re: Ekvivalence slabých L^p norem

Zápatí