Matematické Fórum

kexholm · 14. 12. 2014 13:57

Ahoj, mám takovou hnusnou limitu $\lim_{x\to0}\frac{arcsin(\sqrt{x})}{log(\sqrt{x})}$

Nebýt toho logaritmu tak asi vím jak na to... Můj odhad je 1, vidím tam podobnost s $\lim_{x\to0}\frac{sin({x})}{{x}}=1$

Ale nemůžu to tam nijak nacpat a po nějakých zoufalých úpravách si teď nejsem mým odhadem jistá... Kdyby mi nějaká dobrá duše mohla poradit byla bych moc vděčná :<

Bati · 14. 12. 2014 14:45

Ahoj ↑ kexholm:.
Tak jak to je napsané limita neexistuje, protože kvůli def. oboru odmocniny neexistuje limita zleva.
Existuje pouze limita zprava a ta je triviální - stačí posoudit limity zprava čitatele a jmenovatele.

Argcotgh x · 14. 12. 2014 14:48

Protože √x jde k 0, a pokud si dovolím nahradit log x ln x, tak když si zapíšu jmenovatele jako převrácenou hodnotu, tj. ln√x, můžu psát

ln ( 1 + (√x - 1))
lim (x-->0) ________________ = 1,
√x +1

arcsin (√x) ((√x - 1) arcsin (√x) 0
tedy lim (x-->0) __________________ . ________ = lim (x-->0) ____________ = _____ = 0
ln ( 1 + (√x - 1)) ((√x - 1) ((√x - 1) 0 - 1

Bati · 14. 12. 2014 16:04

Ahoj ↑ Argcotgh x:,
zase stejná chyba...

Argcotgh x · 14. 12. 2014 16:15

Aha, už to vidím, k 0 musí jít celý výraz (√x - 1), nejen ta odmocnina. Moc se omlouvám.

Bati · 14. 12. 2014 16:20 — Editoval Bati (14. 12. 2014 16:21)

↑ Argcotgh x:
Mně to nevadí:-) Pomáhá mi představovat si ty limity jako z $\frac{\log(x+1)}{x}$ jako aproximaci přímkou v nule. Pak je jasné, že tahle přímka ten logaritmus nemůže aproximovat nikde jinde. Jsou to vlastně Taylorovy rozvoje 1. řádu.

kexholm · 14. 12. 2014 22:09

Aha já to mám špatně i v sešitu :< zadání je $\lim_{x\to0}\frac{arcsin(\sqrt{x})}{log(1+\sqrt{x})}$

Argcotgh x

Abych zase neopakoval pořád tu stejnou chybu - tady mám log (1 + √x), kde √x už jde k nule. Nešla by teď už použít ta limita?

Bati · 14. 12. 2014 23:39

↑ kexholm:
Opět zdůrazňuji, že oboustranná limita neexistuje.

kexholm · 15. 12. 2014 22:49

Jo pravá limita(V nule u odmocniny je jen prstencové okolí zprava.) No ale to co říkáš nepomůže :<

$\lim_{x\to0^+}\frac{arcsin(\sqrt{x})}{log(1+\sqrt{x})}=\frac{\lim_{x\to0^+}arcsin(\sqrt{x})}{\lim_{x\to0^+}log(1+\sqrt{x})}=\frac00$

A to není definováno. Strýček wolfram napovídá že limita je 1. Takže tam asi půjde nějak vecpat známá limita.

$\lim_{x\to0}\frac{sin({x})}{{x}}=1$ tam ale nepůjde to už jsem zkoušela :<

Argcotgh x · 15. 12. 2014 23:05

To už bych spíš zkoušel nějak tam nacpat limitu

arcsin x
lim (x-->0) ________ = 1
x

Bati · 15. 12. 2014 23:06

↑ kexholm:
Taky jsem se vyjadřoval k předchozí limitě. V tomto případě je třeba si odvodit, že
$\frac{\arcsin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\to1$ a $\frac{\log(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\to1$ pro $x\to0+$ .

kexholm · 16. 12. 2014 00:03

Aha už chápu. Můžu to prostě zargumentovat no...

$\lim_{x\to0}\frac{sin({x})}{{x}}=1$
Sin je v 0 souvislá takže i inverzní f-ce musí být souvislá.
$\lim_{x\to0}\frac{arcsin({x})}{{x}}=1$
Z heineho def. limity, odmocnina z x je podposloupnost def. oboru arcsin takže musí platit
$\lim_{x\to0}\frac{arcsin({\sqrt{x}})}{{\sqrt{x}}}=1$

Mně to zní dobře. Ještě musím vymyslet ten logaritmus.

Argcotgh x · 16. 12. 2014 14:29

Ten logaritmus je základní limita, se kterou se skoro vždy pracuje, platí

ln (1 + y)
lim (y-->0) __________ = 1
y

Ale jak mě správně poučil kolega Bati, to "y" nebo jiný výraz, který se dosazuje jako "y", musí nutně jít k nule (v limitě).

Matematické Fórum

#1 14. 12. 2014 13:57

Limita podil arcsin, log

#2 14. 12. 2014 14:45

Re: Limita podil arcsin, log

#3 14. 12. 2014 14:48

Re: Limita podil arcsin, log

#4 14. 12. 2014 16:04

Re: Limita podil arcsin, log

#5 14. 12. 2014 16:15

Re: Limita podil arcsin, log

#6 14. 12. 2014 16:20 — Editoval Bati (14. 12. 2014 16:21)

Re: Limita podil arcsin, log

#7 14. 12. 2014 22:09

Re: Limita podil arcsin, log

#8 14. 12. 2014 22:29 — Editoval Argcotgh x (14. 12. 2014 22:30)

Re: Limita podil arcsin, log

#9 14. 12. 2014 23:39

Re: Limita podil arcsin, log

#10 15. 12. 2014 22:49

Re: Limita podil arcsin, log

#11 15. 12. 2014 23:05

Re: Limita podil arcsin, log

#12 15. 12. 2014 23:06

Re: Limita podil arcsin, log

#13 16. 12. 2014 00:03

Re: Limita podil arcsin, log

#14 16. 12. 2014 14:29

Re: Limita podil arcsin, log

Zápatí