Matematické Fórum

Takové intuitivní zdůvodnění je následující:

Děje se to v případě, kdy některé záporné náboje jsou volné (mohou se po materiálu pohybovat = je to vodič) a kladné jsou všechny pevně ukotvené. Záporné náboje se mezi sebou silně odpuzují. Proto jsou koncentrovány na povrchu vodivého materiálu. A pokud to má nějaký hrot, tak se jich tam nahromadí více čistě díky vlastnosti, že jsou tak dál od centra (snaží se utéci co nejdál od sebe).

Dá se to ukázat ještě následovně:

Koule o poloměru R, ve které je náboj Q, má na svém povrchu napětí U, kde



(potenciál sféricky symetricky rozloženého náboje). Teď si můžeme pro jednoduchost představit dvě koule o různých poloměrech R1 a R2. Ty spojíme nějakým vodičem, takže podél celého povrchu obou koulí bude stejný potenciál (kdyby dva různé body na koulích měli různé potenciály, tak by tam někde musel téci proud). Pokud mají mít tedy obě koule stejný potenciál, tak každá bude mít jiný náboj



a tedy



Už jsme řekli, že se náboj snaží rozmístit náboj rovnoměrně podél povrchu (důvody jsem uvedl hned na začátku, je to zároveň podmínka toho, aby uvnitř celého materiálu byl konstantní potenciál a nikde netekl proud). Povrch koule je úměrný druhé mocnině poloměru



Na každé kouli budeme mít nábojovou nějakou plošnou hustotu Q/S, pro ni bude díky posledním dvěma rovnicím platit



a tedy



rho jsem označil plošnou hustotu náboje na jednotlivé kouli. Můžeme si samozřejmě udělat větší slepenec koulí. Dotaženo do detailu, můžeme každý materiál rozsekat na hromadu různě velkých koulí. A podle poslední rovnice vidíme, že největších nábojových hustot se dočkáme tam, kde je minimální poloměr křivosti povrchu.

pozn.: Poslední odstavec o konstrukci libovolného tvaru pomocí koulí je potřeba brát trochu s nadhledem. Pokud by třeba uvnitř materiálu byla nějaká bublina, tak se tam žádný náboj nevyskytne. Všechen bude opravdu na vnějším povrchu. Chce to mít trochu představivosti toho, jak se ty náboje snaží odehnat od sebe pryč.

Samozřejmě se můžeme vykašlat na všechny analogie a najít řešení přesně tak, že rozložení náboje bude odpovídat takové situaci, že výsledné elektrické pole uvnitř koule bude nulové. To je na komplikovanější výpočet, pokud je tvar toho materiálu nějaký komplikovaný.

vytautas napsal(a):

prečo sa hromadí náboj na hrotoch?ďakujem .

Na hrotoch je veľký elektrický potenciál (napätie voči nekonečnu), preto hroty (trebárs prach) iskria. Elektrický potenciál je nepriamo úmerný polomeru gule R, hrot má malý polomer.

φ = Q / 4.π.ε.R

vytautas napsal(a):

prečo polomeru gule ?

Guľa je podobná hrotu. Hrot má malý polomer zakryvenia, je to akoby malá polguľa. Pre gulu existuje vzorec.

↑ vytautas: Správne. Ak je polomer veľmi malý, tak je potenciál veľmi veľký. Netreba na to veľa náboja. Potenciál je to čo spôsobuje iskrenie a dokážeme ho merať.

PS: Podobne aj gravitačné zrýchlenie nesúvisí len s množstvom kilogramov. Zmenšovaním gule pri zachovaní kilogramov dostaneme na jej povrchu väčšie gravitačné zrýchlenie.