Matematické Fórum

xstudentíkx · 20. 12. 2014 16:10

Dobrý den,

zajímalo by mě zda se dá tato rovnice vyřešit bez substituce, se substitucí to s přehledem zvládám, ale zajímal by mě i jiný postup řešení.

$\sin \frac{x}{8}+\cos \frac{x}{4}=0$

Jak říkám jde mi o řešení bez substituce.

Freedy · 20. 12. 2014 16:36 — Editoval Freedy (20. 12. 2014 16:52)

Ahoj,

obecně platí že
$\cos x=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$

můžeme tedy rovnici přepsat jako:
$\sin \frac{x}{8}+\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{x}{4})=0$ >>> $\sin \frac{x}{8}+\sin (\frac{2\pi -x}{4})=0$

s využitím součtového vzorce
$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$

můžeme tvou rovnici přepsat na:
$2\sin \frac{\frac{x}{8}+\frac{2\pi -x}{4}}{2}\cos \frac{\frac{x}{8}-\frac{2\pi -x}{4}}{2}=0$ >>> $\sin \frac{4\pi -x}{16}\cos \frac{3x-4\pi }{16}=0$

Nyní řešíme dvě rovnice
1) $\sin \frac{4\pi -x}{16}=0$ a tedy $x=4\pi +16k\pi$
2) $\cos \frac{3x-4\pi }{16}=0$ a tedy $x=4\pi +\frac{16k\pi }{3}$ k je celé

↑ ewer12:
tvé řešení bylo v pořádku též, jen jsi neuvážil periodicitu goniometrických funkcí

xstudentíkx · 20. 12. 2014 16:53

↑ Freedy:

Moc děkuji.

Správný výsledek vypadá takto:

$\{\frac{28}{3}\pi +16k\pi;\frac{44}{3}\pi +16k\pi ;4\pi +16k\pi \}=\{4\pi +\frac{16}{3}\pi k \}$

Výsledek druhé rovnice tedy zahrnuje výsledek té první. Že?

Freedy · 20. 12. 2014 17:08

Ano

xstudentíkx · 20. 12. 2014 17:26

↑ Freedy:

Mohu se ještě zeptat na poslední úpravu: $\sin \frac{4\pi -x}{16}=0$

Jak z toho dostanu $x=4\pi +16k\pi$ ?

misaH · 20. 12. 2014 17:39 — Editoval misaH (20. 12. 2014 17:42)

↑ xstudentíkx:

To vážne?

Kedy sa sinus x rovná 0?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

xstudentíkx · 20. 12. 2014 18:10

↑ misaH:

Já vím kdy se sinus x rovná nule. Ale šlo mi o převod na tu druhou stranu. Jenom co se týče Vašeho řešení, nemá tam být místo $\frac{4\pi -x}{16}=0+k\pi$ toto: $\frac{4\pi -x}{16}=-k\pi$ . I když vzhledem k tomu, že $k\in \mathbb{Z}$ na tom příliš nesejde.

misaH · 20. 12. 2014 19:38 — Editoval misaH (20. 12. 2014 19:43)

↑ xstudentíkx:

Zvykne sa písať $+k\pi$ , asi podľa grafu, čítame zľava doprava - sama píšeš, že kvôli tomu, že k je celé číslo, tak na tom nesejde

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2014 16:10

goniometrická rovnice

#2 20. 12. 2014 16:35 — Editoval ewer12 (20. 12. 2014 16:40) Příspěvek uživatele ewer12 byl skryt uživatelem ewer12.

#3 20. 12. 2014 16:36 — Editoval Freedy (20. 12. 2014 16:52)

Re: goniometrická rovnice

#4 20. 12. 2014 16:53

Re: goniometrická rovnice

#5 20. 12. 2014 17:08

Re: goniometrická rovnice

#6 20. 12. 2014 17:26

Re: goniometrická rovnice

#7 20. 12. 2014 17:39 — Editoval misaH (20. 12. 2014 17:42)

Re: goniometrická rovnice

#8 20. 12. 2014 18:10

Re: goniometrická rovnice

#9 20. 12. 2014 19:37 Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem misaH.

#10 20. 12. 2014 19:38 — Editoval misaH (20. 12. 2014 19:43)

Re: goniometrická rovnice

Zápatí