Matematické Fórum

BajaCZ · 22. 12. 2014 20:01

Dobrý den,
pokouším se přes substulituce (s logaritmy) vypočítat následující rovnice, ale stále se nemohu dostat k výsledkům $x = \frac{1}{2}, y = 2$ . Prosím o nějakou radu, jestli jak se k nim dopracovat. Předem moc děkuji. :)

$4^{x} \cdot 3^{y} = 18$
$9^{x} \cdot 5^{y} = 75$

holyduke · 22. 12. 2014 20:13

Ahoj,
$4^{x} \cdot 3^{y} = 18$ si můžeš přepsat jako $x\cdot \log_{}4+ y\log_{}3=\log_{}18$
to samé uděláš s druhou rovnicí a následně dosadíš vyjádřenou neznámou z předchozí rovnice :)

misaH · 22. 12. 2014 20:46 — Editoval misaH (22. 12. 2014 20:47)

$2^{2x}\cdot 3^y=2^1\cdot 3^2$

$2x=1; y=2$

BakyX · 22. 12. 2014 23:14

↑ misaH:

To ako vážne ?

BajaCZ · 23. 12. 2014 17:51

↑ holyduke:
Díky moc, už mi to vyšlo. Já jsem předtím logaritmovala tu druhou rovnici až po substituci s logaritmy z první rovnice. Ještě jednou děkuji. :)

misaH · 23. 12. 2014 20:15

↑ BakyX:

A?

:-)

byk7 · 23. 12. 2014 20:21

↑ misaH: Váš postup není přípustný, to, že to teď vyšlo, je pouze dílem náhody. Takový postup selže, když kořeny budou iracionální.

misaH · 23. 12. 2014 20:35 — Editoval misaH (23. 12. 2014 20:40)

↑ byk7:

Ale korene neboli iracionálne.

Chcete povedať, že $2^x=2^3$ neznamená, že x=3?

BakyX · 23. 12. 2014 21:37

Z $2^{2x} \cdot 3^y=2^1 \cdot 3^2$ nemožno dedukovať $2x=1$ a $y=2$ už len z princípu.

Naľavo máme funkciu dvoch premenných. Vlastne pre každé $x$ môžeme položiť

$y=\log_3 \frac{18}{2^{2x}}$

a ten vzťah bude platiť.

Jj · 23. 12. 2014 21:59

↑ BakyX:

Zdravím.

Ale řekl bych, že z obou rovnic

$2^{2x} \cdot 3^{y} = 2^1\cdot 3^2$
$3^{2x} \cdot 5^{y} = 3^1\cdot 5^2$

už by se řešení

$2x=1, \,\,y=2$

určit mohlo.

holyduke · 23. 12. 2014 22:15

Pokud se v obou rovnicích rozkladem na prvočísla řešení shodují, pak je to správný výsledek. Nemůže však vyřešit jednu rovnici a považovat to za správný výsledek, aniž by ho ověřil ve druhé...

misaH · 24. 12. 2014 07:52 — Editoval misaH (24. 12. 2014 08:25)

Samozrejme, že sa treba presvedčiť, či x a y vyhovujú aj druhej rovnici, to je snáď jasné, preboha.

Tie rovnice vytvárajú sústavu a ak by z každej vychádzalo iné x a y, riešenie sústavy by neexistovalo. To by vari na strednej škole mohlo byť jasné a je celkom možné, že autor úlohy myslel zadanie tak ako ja - svedčí o tom výber čísel na pravej strane oboch rovníc.

A dôležitá je aj poznámka o prvočíselnom rozklade.

...

Jj, holyduke :-)

vlado_bb · 24. 12. 2014 10:18

Zostava este zdovodnit, ze ine riesenie uz neexistuje.

vanok · 24. 12. 2014 11:41 — Editoval vanok (24. 12. 2014 11:43)

Poznamka :
Ak pouzijeme zakladnu vetu aritmetiky ( =jednoznacnost rokladu v Z), tak sa vyhneme zbytocnemu diskuziam ... Ale to niekde musi byt jasne povedane ze sa pracuje v Z aby taky dokaz bol uplny.
Ak vyjdeme z toho kadru, pochopitelne takato metoda mozno neda vsetki riesenia ako to vyjadril ↑ vlado_bb: ( tu sa podla textu cvicenia pracuje v R).

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2014 20:01

Soustava exponenciálních rovnic

#2 22. 12. 2014 20:13

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#3 22. 12. 2014 20:46 — Editoval misaH (22. 12. 2014 20:47)

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#4 22. 12. 2014 23:14

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#5 23. 12. 2014 17:51

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#6 23. 12. 2014 20:15

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#7 23. 12. 2014 20:21

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#8 23. 12. 2014 20:35 — Editoval misaH (23. 12. 2014 20:40)

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#9 23. 12. 2014 21:37

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#10 23. 12. 2014 21:59

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#11 23. 12. 2014 22:15

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#12 24. 12. 2014 07:52 — Editoval misaH (24. 12. 2014 08:25)

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#13 24. 12. 2014 10:18

Re: Soustava exponenciálních rovnic

#14 24. 12. 2014 11:41 — Editoval vanok (24. 12. 2014 11:43)

Re: Soustava exponenciálních rovnic

Zápatí