Matematické Fórum

aflotun · 28. 12. 2014 21:26

Zdravim,
mam problem s prikladem:

$\lim_{x \to \infty}[(2x+1)e^\frac{1}{x^2-1}-2x]=?$

Predem dekuji za pomoc.

holyduke

Ahoj,
nejsem v limitách přeborník, ale řešil bych to takto (pokud je to špatně, tak mě prosím opravte :D)
$\lim_{x \to \infty}e^\frac{1}{x^2-1}=\lim_{x \to \infty}e^\frac{\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1$
z toho dostáváme $\lim_{x \to \infty}((2x+1)\cdot 1-2x)=1$

Jj · 28. 12. 2014 21:55 — Editoval Jj (28. 12. 2014 22:29)

↑ holyduke:

Edit - skryta nesprávná odpověď - viz příspěvky kolegů ↑ jarrro:↑ Pavel:,

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

holyduke

↑ Jj:
opraveno, nepřekontroloval jsem to a uviděl jsem to až potom :) děkuji

jarrro · 28. 12. 2014 22:14

limita je 1 ale ten postup nie je korektný, lebo napríklad
$\lim_{x \to \infty}{$\(2x+1$$1+\frac{1}{x}$-2x\)}=\lim_{x \to \infty}{$2x+1+2+\frac{1}{x}-2x$}=3\neq 1$

Pavel · 28. 12. 2014 22:19

↑ holyduke:

Výsledná limita je opravdu rovna $1$ , nicméně Tvůj postup je chybný.

Správný postup:

$\lim_{x \to \infty}[(2x+1)\mathrm e^\frac{1}{x^2-1}-2x]=\lim_{x \to \infty}(2x)(\mathrm e^\frac{1}{x^2-1}-1)+\lim_{x \to \infty}\mathrm e^\frac{1}{x^2-1}$

Druhá limita je zřejmě rovna $1$ . Vypočítáme první limitu:

$\lim_{x \to \infty}(2x)(\mathrm e^\frac{1}{x^2-1}-1) =\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2x}{x^2-1}\cdot\frac{\mathrm e^\frac{1}{x^2-1}-1}{\frac 1{x^2-1}}\right) =\lim_{x \to \infty}\frac{2x}{x^2-1}\cdot\lim_{x \to \infty}\frac{\mathrm e^\frac{1}{x^2-1}-1}{\frac 1{x^2-1}}$

První limita je zřejmě rovna $0$ . Druhá se řeší zavedením substituce $t:=\frac 1{x^2-1}$ a pomocí identity

$\lim_{t\to 0}\frac{\mathrm e^t-1}{t}=1.$

Tj.

$\lim_{x \to \infty}\frac{\mathrm e^\frac{1}{x^2-1}-1}{\frac 1{x^2-1}}=1.$

Zadaná limita vychází pak takto:

$\lim_{x \to \infty}[(2x+1)\mathrm e^\frac{1}{x^2-1}-2x]=\lim_{x \to \infty}\frac{2x}{x^2-1}\cdot\lim_{x \to \infty}\frac{\mathrm e^\frac{1}{x^2-1}-1}{\frac 1{x^2-1}}+\lim_{x \to \infty}\mathrm e^\frac{1}{x^2-1}=0\cdot 1+1=1$

Jen tak na okraj, kdyby se Tvým postupem řešila jiná limita, např.

$\lim_{x \to \infty}[(2x+1)\mathrm e^\frac{1}{x-1}-2x]$

dal by Tvůj postup stejný výsledek, tj. $1$ , nicméně správný výsledek je $3$ .

Jj · 28. 12. 2014 22:26 — Editoval Jj (28. 12. 2014 22:31)

Zdravím, ↑ jarrro:↑ Pavel:,

díky za vstup - takže jsem to tady ↑ Jj: popletl. Je vidět, že mám co opakovat.

+ Omluva kolegovi ↑ holyduke: za nesprávnou odpověď.

holyduke · 28. 12. 2014 22:56

děkuji ↑ Pavel:↑ jarrro: za objasnění!

aflotun · 29. 12. 2014 14:20

↑ Jj:

Napsal jste:

Je tam menší překlep (lim = 1), ale řekl bych, že postup je správný - uvedenou "částečnou" limitu je možno uplatnit (pokud je nenulová).
-----------------------------

Pokud se nemylim, nemusi byt tato castecna limita nenulova. Staci, kdyz existuje.
Mam pravdu?

Jj · 29. 12. 2014 15:41

↑ aflotun:

Ovšem moje odpověd nebyla správná, postup nebyl korektní.
Uvažoval jsem tak - pokud by uvedená limita byla nulová, tak v součinu s členem (2x+1) by šlo o limitu neurčitého výrazu typu $\infty \cdot 0$ .

aflotun · 29. 12. 2014 16:56

Dekuji za krasne reseni vsem kolegum:

↑ holyduke:, ↑ Jj:, ↑ jarrro:, ↑ Pavel:.

Stastny Novy rok!

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2014 21:26

Limita

#2 28. 12. 2014 21:44 — Editoval holyduke (28. 12. 2014 22:25)

Re: Limita

#3 28. 12. 2014 21:55 — Editoval Jj (28. 12. 2014 22:29)

Re: Limita

#4 28. 12. 2014 22:00 — Editoval holyduke (28. 12. 2014 22:03)

Re: Limita

#5 28. 12. 2014 22:14

Re: Limita

#6 28. 12. 2014 22:19

Re: Limita

#7 28. 12. 2014 22:26 — Editoval Jj (28. 12. 2014 22:31)

Re: Limita

#8 28. 12. 2014 22:34 — Editoval jarrro (28. 12. 2014 22:37) Příspěvek uživatele jarrro byl skryt uživatelem jarrro. Důvod: to isté čo Pavel

#9 28. 12. 2014 22:56

Re: Limita

#10 29. 12. 2014 14:20

Re: Limita

#11 29. 12. 2014 15:41

Re: Limita

#12 29. 12. 2014 16:56

Re: Limita

Zápatí