Matematické Fórum

Argcotgh x · 02. 01. 2015 13:31

Zdravím, mohl bych poprosit o nápovědu k tomuto příkladu? Ještě jsme to neprobírali, tudíž nemám představu o řešení.

Nalezněte lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

$a_{n}=cos^{n}\frac{2}{3}n\pi$

Bati · 02. 01. 2015 15:07 — Editoval Bati (02. 01. 2015 15:27)

↑ Argcotgh x:
Ahoj,
limsup by měla být jasná, vezmi podposloupnost $a_{3k}$ .

A co se týče liminf, stačí si rozmyslet k čemu konvergují ty ostatní podposloupnosti.

Argcotgh x · 02. 01. 2015 15:35

Bohužel mi to moc jasné není :-( předchází se nám cvičení před přednáškou...

Bati · 02. 01. 2015 15:41

↑ Argcotgh x:
Začni tím, že určíš $\lim a_{3k},\lim a_{3k+1},\lim a_{3k+2}$ , pokud existují.

Argcotgh x · 02. 01. 2015 15:59

Napadá mě, že když zvolím n = 3k, dostanu

$a_{3k}=cos^{3k}.\frac{2}{3}.3k\pi =cos^{3k}2k\pi=cos^{3k}0=1$

vlastně

$(cos 0)^{0}=1^{0}=1$
$(cos 0)^{3}=1^{3}=1$
$(cos 0)^{6}=1^{6}=1$
atd.

Bati · 02. 01. 2015 16:08

↑ Argcotgh x:
Takže si našel podposloupnost, která má limitu 1. Je ale zřejmé, že zadaná posloupnost je omezená shora jedničkou, z čehož už plyne závěr pro limsup (buď z tvrzení, že limsup se dá realizovat jako obyčejná limita nějaké podposloupnosti, anebo přímo z definice).

Co ty ostatní?

Argcotgh x · 02. 01. 2015 17:11

Ty ostatní jsou horší:

3k+1:

$a_{3k+1}=cos^{3k+1}\frac{2}{3}(3k+1)\pi =cos^{3k+1}(\frac{2}{3}\pi +2k\pi )$

$cos(\frac{2}{3}\pi+2k\pi ) =cos(\frac{2}{3}\pi)=-\frac{1}{2}$

ale

$(cos(\frac{2}{3}\pi))^{1}=-\frac{1}{2}$
$(cos(\frac{2}{3}\pi))^{4}=(-\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{16}$
$(cos(\frac{2}{3}\pi))^{7}=(-\frac{1}{2})^{7}=-\frac{1}{128}$
$(cos(\frac{2}{3}\pi))^{10}=(-\frac{1}{2})^{10}=\frac{1}{1024}$
atd.

takže to znaménkově osciluje, ale přijde mi, že s rostoucím "k" to jde k nule

Podobně

3k+2

$a_{3k+2}=cos^{3k+2}\frac{2}{3}(3k+2)\pi =cos^{3k+2}(\frac{4}{3}\pi +2k\pi )$

$cos(\frac{4}{3}\pi+2k\pi ) =cos(\frac{4}{3}\pi)=-\frac{1}{2}$

$(cos(\frac{4}{3}\pi))^{2}=(-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$
$(cos(\frac{4}{3}\pi))^{5}=(-\frac{1}{2})^{5}=-\frac{1}{32}$
$(cos(\frac{4}{3}\pi))^{8}=(-\frac{1}{2})^{8}=\frac{1}{256}$
$(cos(\frac{4}{3}\pi))^{11}=(-\frac{1}{2})^{11}=-\frac{1}{2048}$
atd.

takže to taky znaménkově osciluje, ale taky mi přijde, že s rostoucím "k" to jde k nule.

Bati · 02. 01. 2015 17:56

To, že ti to "přijde" nestačí, musíš to dokázat. Zjistil jsi, že $|\cos(\tfrac23n\pi)|=\tfrac12$ , pokud $n=3k+1$ nebo $n=3k+2$ . Zřejmě ale $(\tfrac12)^{n_k}\to0$ pro $k\to\infty$ .

Z toho pak lze učinit závěr pro liminf (nejlépe asi z definice).

Argcotgh x · 02. 01. 2015 18:03

Právě že mi není jasný ten důkaz a závěr :-(

Bati · 02. 01. 2015 18:19 — Editoval Bati (02. 01. 2015 18:20)

↑ Argcotgh x:
Ten důkaz nulovosti limit jsem udělal v první části mého předchozího příspěvku, uvědom si, že $|b_m|\to0\Leftrightarrow b_m\to0$ , $m\to\infty$ ).

S tím liminf...napiš definici a urči ty jednotlivá infima.

Argcotgh x · 04. 01. 2015 16:15

Bohužel mi to stále není jasné...nebyla by ještě nápověda?

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2015 13:31

Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

#2 02. 01. 2015 15:07 — Editoval Bati (02. 01. 2015 15:27)

Re: Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

#3 02. 01. 2015 15:35

Re: Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

#4 02. 01. 2015 15:41

Re: Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

#5 02. 01. 2015 15:59

Re: Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

#6 02. 01. 2015 16:08

Re: Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

#7 02. 01. 2015 17:11

Re: Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

#8 02. 01. 2015 17:56

Re: Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

#9 02. 01. 2015 18:03

Re: Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

#10 02. 01. 2015 18:19 — Editoval Bati (02. 01. 2015 18:20)

Re: Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

#11 04. 01. 2015 16:15

Re: Nalezení lim sup (n-->∞) a lim inf (n-->∞)

Zápatí