Matematické Fórum

jelinekgreen · 04. 01. 2015 20:04

Zdravím, už se pěknou chvilku trápím s jedním příkladem a nemůžu ho rozlousknout.. Prosím o pomoc.

Zadání zní: Najděte všechny body C takové, že leží na přímce p: x-y-2=0 a trojúhelník ABC má obsah = 1. A[3,4], B[2,5].

Jj · 04. 01. 2015 20:41

↑ jelinekgreen:

Dobrý den. Obsah trojúhelníka o vrcholech A(3,4), B(3,5) a C(x,y) můžeme vyjádřit např. jako absolutní hodnotu determinantu:

$S = \frac{1}{2}abs\left( \begin{vmatrix} x & y & 1\\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 1\end{vmatrix} \right )$

Takže bych řekl, že z rovnice

$\frac{1}{2}abs\left( \begin{vmatrix} x & x-2 & 1\\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 1\end{vmatrix} \right ) = 1$

můžeme spočítat x-ové souřadnice hledaných vrcholů C, k nim příslušné y-ové souřadnice dopočítat z rovnice dané přímky.

Freedy · 04. 01. 2015 20:58

Ahoj,

obsah trojúhelníku je polovina obsahu rovnoběžníku. Obsah rovnoběžníku je dán vzorcem:
$S=|\vec{u} \times \vec{v}|$ kde vektory u a v představují jeho nerovnoběžné strany.

Hledáš tedy bod $C[c_1;c_2]$
Jeden vektor již znáš $\vec{u}=B-A=(-1;1)$
druhý vektor bude obsahovat neznámou: $\vec{v}=C-A=(c_1-3;c_2-4)$
Uděláš vektorový součin těchto dvou vektorů a velikost tohoto vektoru položíš 1. Nakonec vyjádříš c1 nebo c2 pomocí rovnice přímky, na které daný bod leží a dopočítáš zbylé výsledky..
Postup přes matice je ovšem též korektní, ale přijde mi že determinant u typu 3x3 je početně daleko delší.

jelinekgreen · 04. 01. 2015 21:36

↑ Freedy:
Není náhodou vektorový součin definován pouze v prostoru?

↑ Jj:
Hned vyzkouším :)

Freedy · 04. 01. 2015 21:39 — Editoval Freedy (04. 01. 2015 22:46)

↑ jelinekgreen:
a co ti brání si za tu třetí souřadnici dosadit v obou případech 0? Kdybychom to osekali, tak je pak obsah trojúhelníku, jehož dvě strany jsou vektory u a v roven:
$S=\Huge \frac{1}{2} \normalsize \cdot|u_1v_2-u_2v_1|$

Edit: ano, jedna polovina tam skutečně je.

misaH · 04. 01. 2015 21:46

↑ Freedy:

Nie polovica?

misaH · 04. 01. 2015 21:48

↑ jelinekgreen:

To chodíš do matematickej triedy, keď rátate determinanty?

jelinekgreen · 04. 01. 2015 21:49

↑ Jj:
Tento výpočet mi vyhodil graficky odpovídající řešení. (asi - těžko se to odhaduje..) Ale řešení existují každopádně 2 a nevím, kde v tomhle postupu narazit na nějaké plus/minus...

Ale každopádně děkuju :)

jelinekgreen · 04. 01. 2015 21:51

↑ misaH:
Do prváku na výšce, ale tohle mi přišlo středoškolské. Teda až na ten fakt, že mi to nejde :D Ale doufal jsem v jednodušší postup. Resp. já se dopracoval k druhému výsledku středoškolsky, ale taky tam nevidím prostor pro získání druhého bodu C

misaH · 04. 01. 2015 22:00 — Editoval misaH (04. 01. 2015 22:01)

↑ jelinekgreen:

Aha.

Freedy má s tým obsahom pravdu.

Ja by som to robila úplne natvrdo.

Zistila vzdialenosť AB, vyrátala výšku trojuholníka z obsahu a zistila rovnice rovnobežiek s AB v príslušnej vzdialenosti.
No a priesečníky rovnobežiek s danou priamkou.

Ale je to zdĺhavé a asi ozaj existujú omnoho elegantnejšie riešenia.

jelinekgreen · 04. 01. 2015 22:06

↑ Freedy:
Pokud dosadím za zetové souřadnice nulu. Bude nula i ve třetím řádku/třetím sloupci determinantu a tím pádem dostanu $|u_1v_2-u_2v_1|\cdot 0$ ?

jelinekgreen · 04. 01. 2015 22:41

Tadyhle jsem ofotil dva postupy. Jeden od Jj a spodní ode mně. Každý ale spočítá jen jeden ze dvou správných postupů. Zajímalo by mě, kde v těch postupech, ty opačné výsledky ztratily. Při testu nebude čas nad tím takhle hluboce hloubat a uvažovat, který výpočet vypustí jaký výsledek :/

http://postimg.org/image/6cvfe4fdb/

Freedy · 04. 01. 2015 22:44

Ahoj, je smutné, že někdo, kdo pracuje s maticemi, ani netuší, jak vypadá vektorový součin. Nicméně, hodně zdaru při počítání s maticemi, když vůbec netušíš jak fungují, tak je potom zbytečné s nimi počítat.

jelinekgreen · 04. 01. 2015 22:55

↑ Freedy:
My jsme si vektorový součin definovali takto: http://postimg.org/image/439gzdr6x/
Mně na první pohled připadá, že dosazením za zetové souřadnice se na místě "k" objeví nula. Ale je samozřejmě možné, že se pletu. Vlastně právě proto se tady ptám! A jestli je něco smutného, tak ne to, že já něčemu nerozumím, ale že tobě to stojí za posměšek.

Freedy · 04. 01. 2015 23:03

Dobře, tak to můžeme zkusit jinak. Co to je vektorový součin? Jaký vektor vznikne vektorovým součinem dvou nekolineárních vektorů?

jelinekgreen · 04. 01. 2015 23:09

↑ Freedy:
Pro mě je to číslo, které získám jako determinant matice - viz odkaz. Vektorovým součinem vznikne nový vektor, kolmý na oba původní.

Freedy · 04. 01. 2015 23:11

V tom případě, jak může být z-ová souřadnice nulová, jestliže tento vektor má být kolmý na dva vektory ležící v rovině z = 0 ?

jelinekgreen

To nemůže.. Ale přemýšlím, jak to teda povyplňovat ten determinant. Resp. jestliže je výsledkem vektor v=(i,j,k), tak vyjde $v=(0,0,|u_1v_2-u_2v_1|\cdot k)$ ?

A velikost tohoto vektoru tedy položím rovnu jedné?

Freedy · 04. 01. 2015 23:35 — Editoval Freedy (04. 01. 2015 23:44)

Nevím, já se do matic nebudu pouštět.
Já znám vektorový součin jako:
$\vec{u} \times \vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2;u_3v_1-u_1v_3;u_1v_2-u_2v_1)$

Ty máš body [3,4] a [2,5] a přímku x-y-2=0 a hledáš bod C[c1,c2] tak, aby byl obsah trojúhelníku ABC 1.
Vektor $\vec{u}=B-A=(-1;1)$
Vektor $\vec{v}=C-A=(c_1-3;c_2-4)$
vektorový součin $\vec{u} \times \vec{v}=(0,0,-c_2-c_1+7)$ po vynásobení -1 dostáváme: $\vec{w}=(0,0,c_1+c_2-7)$
velikost tohoto vektoru je:
$|(0,0,c_1+c_2-7)|=\sqrt{0^2+0^2+(c_1+c_2-7)^2}=\sqrt{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2-14c_1-14c_2+49}$
ta velikost má být rovna 1 tudíž:
$\frac{\sqrt{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2-14c_1-14c_2+49}}{2}=1$ po umocnění
$c_1^2+c_2^2+2c_1c_2-14c_1-14c_2+49=4$
Bod $C[c_1,c_2]$ leží na přímce x - y - 2 = 0. Tudíž platí $c_1=2+c_2$ . Dosadíš do rovnosti výše a dostáváš:

$4(c_2-\frac{7}{2})(c_2-\frac{3}{2})=0$
a tedy
$c_2=\frac{7}{2}\Rightarrow c_1=\frac{11}{2}$
$c_2=\frac{3}{2}\Rightarrow c_1=\frac{7}{2}$

PS: děkuji za zápornou reputaci.

jelinekgreen · 05. 01. 2015 00:01

↑ Freedy:
Jo. Chápu. Díky moc :)) Přece jenom jsem bojoval s tím vektorovým součinem. Tam se musí ještě za ty i/j/k dosadit orty a pak se to převede teprve na konečný vektor.. Každopádně ani teď na mě tenhle případ nepůsobí úplně triviálně.

Akorát ještě: můžu postupovat takto?
$=\sqrt{0^2+0^2+(c_1+c_2-7)^2}=\sqrt{(c_{1}+c_{2}-7)^{2}}=c_{1}+c_{2}-7$

Tenhle postup mi vyhodí sice správný výsledek, ale zase jen jeden. Kde přesně se tam, prosím, ten druhý výsledek ztrácí?

misaH · 05. 01. 2015 00:11 — Editoval misaH (05. 01. 2015 00:12)

↑ jelinekgreen:

$\sqrt {a^2}=|a|$

jelinekgreen · 05. 01. 2015 00:18

↑ misaH:
Ano, já jsem potom uvažoval $\pm (c_1+c_2-7)$ , akorát že jsem tam udělal početní chybu a dostal se tak na stejný výsledek. Takhle už získávám oba. A přijde mi to teda poměrně jednodušší.

Takže ještě jednou všem moc děkuji za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2015 20:04

Analytika v rovině

#2 04. 01. 2015 20:41

Re: Analytika v rovině

#3 04. 01. 2015 20:58

Re: Analytika v rovině

#4 04. 01. 2015 21:36

Re: Analytika v rovině

#5 04. 01. 2015 21:39 — Editoval Freedy (04. 01. 2015 22:46)

Re: Analytika v rovině

#6 04. 01. 2015 21:46

Re: Analytika v rovině

#7 04. 01. 2015 21:48

Re: Analytika v rovině

#8 04. 01. 2015 21:49

Re: Analytika v rovině

#9 04. 01. 2015 21:51

Re: Analytika v rovině

#10 04. 01. 2015 22:00 — Editoval misaH (04. 01. 2015 22:01)

Re: Analytika v rovině

#11 04. 01. 2015 22:06

Re: Analytika v rovině

#12 04. 01. 2015 22:41

Re: Analytika v rovině

#13 04. 01. 2015 22:44

Re: Analytika v rovině

#14 04. 01. 2015 22:55

Re: Analytika v rovině

#15 04. 01. 2015 23:03

Re: Analytika v rovině

#16 04. 01. 2015 23:09

Re: Analytika v rovině

#17 04. 01. 2015 23:11

Re: Analytika v rovině

#18 04. 01. 2015 23:22 — Editoval jelinekgreen (04. 01. 2015 23:24)

Re: Analytika v rovině

#19 04. 01. 2015 23:35 — Editoval Freedy (04. 01. 2015 23:44)

Re: Analytika v rovině

#20 05. 01. 2015 00:01

Re: Analytika v rovině

#21 05. 01. 2015 00:11 — Editoval misaH (05. 01. 2015 00:12)

Re: Analytika v rovině

#22 05. 01. 2015 00:18

Re: Analytika v rovině

Zápatí