Matematické Fórum

lauralee

Prosím, mohl by mi někdo pomoct s následujícími příklady?

1) Nalezněte primitivní funkce k daným funkcím:
a) y=sinx + 4/x; (0;+ nekonečno)
b) y=2e na xtou; R
2) Najděte definiční obor, intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkcí:
a) y=2-e na xtou + xe
b) y=x-lnx
3) Vypočítejte plochu útvaru ohraničeného křivkami:
y=3/x; y=4-x
4) Dokažte, že daná rovnice má právě jedno řešení a určete toto řešení:
x=1+lnx

Moc díky všem.

Olin · 10. 03. 2009 19:51 — Editoval Olin (10. 03. 2009 19:52)

Pomoct bychom určitě mohli, ale je toho docela dost, takže by bylo fajn, kdybys nějak naznačil(a), co konkrétně ti vlastně dělá problémy, kam ses dostal(a) atd. Tady to derivování, integrování atd. je dost mechanická činnost, navíc tyto příklady nejsou nijak složité.

Udělám 1 a):
$\int $\sin x + \frac 4x$ \mathrm{d}x = -\cos x + 4 \ln x + C$
Do logaritmu nemusím dát absolutní hodnoty, protože x je pouze kladné podle zadání.

Všechno, co jsem použil, jsou naprosto základní vzorce pro integrování.

Ještě upozorňuji, že to, co zadáváš ve čtyřce, rozhodně rovnice není…

lauralee · 10. 03. 2009 20:10

↑ Olin:
Díky za výpočet, co se týče 4. př., to nám zadala naše učitelka na matematiku a tak to stálo v zadání, jen jsem to opsala, takže nevím. Já toho z integrací a derivací moc neumím, snad jenom vzorečky dokážu použít. Z matematiky nematuruji a ani ji nebudu potřebovat na VŠ, a navíc jsem téď déle chyběla, takže opravdu ani trochu nevím, co s tím. Takže kdybys měl (třeba i za pár dní) čas a chuť některé další z těch příkladů vypočítat, moc by mi to pomohlo. Nebo by mi alespoň stačilo naznačit, co s tím - např. udělej první derivaci, zintegruj atd. Ještě jednou díky za ten 1. příklad. Lauralee

jelena · 10. 03. 2009 21:16 — Editoval jelena (10. 03. 2009 21:49)

↑ Olin:

Zdravím :-)

Editace (omluva pro Olina): byla jsem upozorněna kolegou lukaszh(em)(skloňuji), že když jsi psal tento příspěvek, tak to nebyla rovnice a teď :

4) rovnice to je

Řešila bych graficky - nakreslim graf - přímku y=x (nebo po přesunu 1 nalevo y=x-1) a graf funkce y=1+lnx (nebo y=lnx). A prokážu, že společný bod je pouze jeden.

↑ lauralee:

Zdravím :-)

2) Najděte definiční obor, intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkcí:
a) y=2-e na xtou + xe
b) y=x-lnx

Budeš potřebovat najit:

def. obory pro a) jsou to R, pro b) (0, +oo)
derivace (podle vzorců, jak umíš):
položit derivace rovne 0 a vypočítat hodnotu x, kde se to stane - budou to body podezřelé z extrému, pomocí ověření znaménka derivace před a po podezřelém bodu (pokud derivace při přechodu přes bod změní znaménko), potvrdit, že jsou to extrémy.

Vysvětleno: http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/Learn … rokem4.php

3) Vypočítejte plochu útvaru ohraničeného křivkami:
y=3/x; y=4-x

Stačí nakreslit zadané grafy (první - nepřímá úměra, druhý přímka, najit x-souřadnici průsečíků - společných bodů grafů a vypočítat určitý integrál.

Vysvětleno: http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/Learn … rokem7.php

Pokud se nepodaří - tak se ozví tady. Hodně zdaru :-)

lukaszh · 10. 03. 2009 21:27

↑ jelena:
Ja myslím, že keď to ↑ Olin: písal, tak to ešte rovnica nebola :D, viď čas edit-u a čas príspevku ↑ Olin:.

jelena · 10. 03. 2009 21:46

↑ lukaszh:

Zdravím a děkuji - no bylo mi to zvláštní, že kolega Olin něco takového hlasí :-)

půjdu editovat....

Olin · 10. 03. 2009 22:39 — Editoval Olin (10. 03. 2009 22:42)

Ohledně té rovnice 4)
Předpokládám, že se to chce řešit nějak takto:
převedeme na
$1+\ln x - x = 0$

Následně ukážeme, že funkce
$f(x) = 1+\ln x - x$
je na intervalu $(0; \, 1\rangle$ rostoucí, v $x = 1$ má maximum a na intervalu $\langle 1;\, \infty)$ je klesající. Z toho plyne, že má rovnice právě jedno řešení, a to $x = 1$ (protože $f(1) = 0$ ).

lauralee · 13. 03. 2009 20:44

děkuji všem za výpočty, s tou rovnicí se omlouvám, místo = jsem zadala omylem - a nevšimla si toho, takže jsem nevěděla, jak to uživatel Olin myslí, proč to není rovnice - matematika totiž není moje silná stránka(-:, ale všimla jsem si toho až později, tak jsem to - předělala na =, zkrátka předtím to opravdu nebyla rovnice (-:

Olin · 13. 03. 2009 22:36

U trojky je nutné udělat si obrázek a zjistit průsečíky obou funkcí. Výsledná plocha pak bude integrál z "horní" funkce (mezemi jsou průsečíky) mínus integrál z "dolní" funkce. To plyne z toho, že když je funkce nezáporná, tak je integrál z té funkce roven obsahu plochy pod křivkou.

Protože průsečíky jsou v bodech 1 a 3 (x-ové souřadnice), bude výsledný obsah
$S = \int_1^3 (4-x) \mathrm{d}x - \int_1^3 \frac 3x \mathrm{d}x$

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2009 19:43 — Editoval lauralee (10. 03. 2009 20:17)

Exponenciální a logaritmická funkce

#2 10. 03. 2009 19:51 — Editoval Olin (10. 03. 2009 19:52)

Re: Exponenciální a logaritmická funkce

#3 10. 03. 2009 20:10

Re: Exponenciální a logaritmická funkce

#4 10. 03. 2009 21:16 — Editoval jelena (10. 03. 2009 21:49)

Re: Exponenciální a logaritmická funkce

#5 10. 03. 2009 21:27

Re: Exponenciální a logaritmická funkce

#6 10. 03. 2009 21:46

Re: Exponenciální a logaritmická funkce

#7 10. 03. 2009 22:39 — Editoval Olin (10. 03. 2009 22:42)

Re: Exponenciální a logaritmická funkce

#8 13. 03. 2009 20:44

Re: Exponenciální a logaritmická funkce

#9 13. 03. 2009 22:36

Re: Exponenciální a logaritmická funkce

Zápatí