Matematické Fórum

luči · 12. 01. 2015 19:59

Prosím nevíte někdo jak vypočítat odchylku stěn v pravidelném čtyřstěnu?

marnes · 12. 01. 2015 20:04

↑ luči:
nápověda http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=8740#p55391

luči · 12. 01. 2015 20:11

Nic moc jsem z toho nepobrala.. :/

Freedy · 12. 01. 2015 20:59

Ahoj,

označme si ABCD vrcholy pravidelného čtyřstěnu. Nechť ABC je pomyslná podstava a D je vrchol tohoto jehlanu. Trojúhelník ABC je rovnostranný. Označme si jeho těžiště T. Zřejmě platí, že přímka DT je kolmá na rovinu ABC.
Nyní touto přímkou vedeme rovinu kolmou na kteroukoliv jinou rovinu například ABD. Taková rovina zřejmě protne AB v jejím středu S. Nyní máme tedy těžiště podstavy T, střed hrany AB = S a bod D. Potom pro odchlku těchto dvou stran musí platit: $\sphericalangle TSD$
Vypočítáme tento úhel. Pravidelný čtyřstěn je zadán hranou a = a
Výška v rovnostranném trojúhelníku (která je zároveň těžnicí) je
$v=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Těžiště leží ve dvou třetinách této výšky a tedy je vzdálené 1/3 od základny tudíž platí, že pro střed strany AB = S platí
$|TS|=\frac{a\sqrt{3}}{6}$
Nyní nám stačí vypočítat buď stěnovou výšku, nebo tělesovou výšku. Pak použijeme jistou goniometrickou funkci.
Například stěnová výška je opět $v_s=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ a pro úhel $\sphericalangle TSD=\alpha$ tedy platí:
$\cos \alpha =\frac{|TS|}{|SD|}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{2}}{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$
vypočteme $\text{arccos}(\frac{\sqrt{6}}{4})\approx 52,2387560°$

Sergejevicz · 12. 01. 2015 21:07

Přes opakovaně použitou Pythagorovu větu a goniometrické funkce to jde. Uvažujeme čtyřstěn ABCD, ABC je jeho podstava, D se "vznáší" nad ní.
Nakresli si podstavu, to je rovnostr. tojúhl.. Nakresli si do ní těžnice, což je v tomto případě to samé co výšky (jsme v rovnostr. trojúhl.). Těžnice se protínají v těžišti T, to dělí každou těžnici v poměru 1:2, přičemž 1 jde od T ke straně podstavy, a 2 od T k vrcholu (to je známá věc). Vybereme si těžnici z vrcholu C, její průsečík se stranou AB označíme P. Naše odchylka leží mezi úsečkami PT a PD, přičemž trojúhelník PTD je pravoúhlý s pravým úhlem při bodu T, neb TD je výška čtyřstěnu a ta je kolmá na podstavu. Odchylku tedy budeme moci spočítat třeba tak, že spočítáme její cosinus, protože je to poměr délek PT a PD. Z toho PT je třetina těžnice a PD je vlastně celá těžnice, protože je to těžnice šikmé stěny čtyřstěnu, ale tato stěna je stejná jako podstava, taky rovnostr. trojúhl.. Takže ten cosinus je třetina těžnice / těžnice, tedy těžnice se zkrátí a ten cosinus tak je 1/3. Řešíme tedy rci

cos(x) = 1/3.

x je ta odchylka. Teď je potřeba si s tím ještě nějak poradit, jak to x odtamtud dostat.

Sergejevicz · 12. 01. 2015 21:24

Tak buď to hodim do kalkulačky na arccos, ale já jsem to chtěl vymyslet tak, jeslti by to nešlo analyticky, třeba za pomoci pí.

Sergejevicz · 12. 01. 2015 21:45

Já už jsem dnes hooodně unavenej, případný chyby a nápady dopíšu zejtra.

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2015 19:59

čtyřstěn

#2 12. 01. 2015 20:04

Re: čtyřstěn

#3 12. 01. 2015 20:11

Re: čtyřstěn

#4 12. 01. 2015 20:59

Re: čtyřstěn

#5 12. 01. 2015 21:07

Re: čtyřstěn

#6 12. 01. 2015 21:24

Re: čtyřstěn

#7 12. 01. 2015 21:45

Re: čtyřstěn

Zápatí