Matematické Fórum

vlak9 · 19. 01. 2015 13:14

Jsou dány body A[1,2,-1] B[1,0,1] C[2,1,3].

1.Určete bod D, tak aby byl ABCD rovnoběžník.
2.Vypočítejte úhel úhlopříček tohoto rovnoběžníku.

Mohl by mi prosím někdo poradit? Pokud možno i s postupem. Děkuji

vlado_bb

↑ vlak9:Bod $D$ mozes najst napriklad tak, ze k bodu $C$ pripocitas vektor opacny k $\overrightarrow{AB}$ .

vlak9 · 19. 01. 2015 13:46

Ano ten mě vyšel (2,3,1) je to možné ?

Sergejevicz · 19. 01. 2015 13:51

To neni dobre. Asi byl pripocitan opacny vektor. Bacha. Vektor z dvou bodu spocitam odectenim prvniho bodu od druheho, ne druheho od prvniho :-).

vlak9 · 20. 01. 2015 10:03

A mohl by někdo ten postup, prosím. :)

vlado_bb · 20. 01. 2015 10:30

↑ vlak9:Postup je uvedeny v prispevkoch od ↑ vlado_bb: a ↑ Sergejevicz:.

Jj · 20. 01. 2015 10:49

↑ vlak9:

Řekl bych že souřadnice bodu D = (2,3,1) jste spočítal dobře.

Takže je možno pokračovat.

Sergejevicz

Jo pozor. Já jsem se totiž předtím překoukl a nevšiml si, že kolega vlado_bb radil přočíst vektor OPAČNÝ k $\overrightarrow{AB}$ , tedy vektor $\overrightarrow{BA}$ . Ono to totiž jde vyřešit dvěma způsoby - bod $D$ můžu hledat přičtením vektoru $\overrightarrow{AB}$ k $C$ , ale i odečtením vektoru $\overrightarrow{AB}$ od $C$ , což je to samé jako přičtením vektoru opačného k $\overrightarrow{AB}$ od $C$ , tj. přičtením vektoru $\overrightarrow{BA}$ k $C$ . Rovnoběžníky mohou vzniknout dva. Ale vektory mezi zadanými body musejí být lineárně nezávislé, aby rovnoběžníky nebyly degenerované na úsečky. Ostatně i pro náhled, proč přičítat nebo odčítat $\overrightarrow{AB}$ , nakresli si obrázek s třemi body neležícími v jedné přímce (to je vlastně lin. nezávislost vektorů mezi nimi) a zkus si tam přikreslit $\overrightarrow{AB}$ resp. $\overrightarrow{BA}$ k bodu $C$ , konec vektoru bude ležet v konstruovaném bodě $D$ .

A postup? Košatě jsem se o něm rozepsal a návrhy už tady byly, takže v čem je problém? Je problém udělat vektor $\overrightarrow{AB}$ a přičíst ho bodu $C$ ? Pokud ano, pak by to jistě chtělo doplnit si tyto dílčí dovednosti a můžeme to někdo ukázat, pokud ne, pak se očekává snaha řešitele taky se na řešení podílet.

A ano, bod $[2,3,1]$ je součet bodu $C$ a vektoru opačného k vektoru $\overrightarrow{AB}$

A úhel úhlopříček? To spočítáš jako úhel vektorů, které leží na úhlopříčkách. Tyto vektory jsou $\overrightarrow{AC}$ a $\overrightarrow{BD}$ . Je známý vzorec pro vztah cosinu úhlu sevřeného vektory a jejich skalárního součinu, odtud ten úhel můžeš spočítat. Pozor: z právě zmíněného vzorce ti může úhel vyjít něco mezi 0 a 180 stupni. Vyjde-li to do 90, je to ta odchylka, ale vyjde-li to více než 90, je odchylka 180 mínus to, co vyšlo, protože dvě různoběžné přímky svírají dva úhly, tak se bere ten menší z nich. Pokud jsou stejné, jde o ten případ 90 stupňů, tak tam není mezi čím se rozhodovat. Navíc 90 supňů poznáme ze skalárního součinu hned, že.