Matematické Fórum

blak · 19. 01. 2015 14:35 — Editoval blak (19. 01. 2015 16:57)

Zkusím to dosadit do g1, jestli vyleze správný výsledek.
Edit:
Teda smekám před Vámi Paní/slečno Jeleno za vaši trpělivost se mnou. Teď to skutečně vyšlo. Moc děkuju, teď už vím, že i když nejvyjde klasická 1:1 rovnice $(\lambda _{2}=2\lambda )$ , tak se s tím má počítat a ne si dělat hlavu, že mi to zase nevychází :)

Rumburak · 19. 01. 2015 16:28

Zdravím v tematu.

Jen tak pro kontrolu můžeme úlohu vyřešit následující úvahou:

Funkce $f(x, y, z) := x^{2}+y^{2}+z^{2}$ , jejíž extrémy hledáme, je druhou mocninou vzdálenosti bodu $[x, y, z]$
od počátku.

Rovnicemi $x^{2}+y^{2}=10$ , $x+3y-5z=0$ jsou určeny plochy, jejichž průnikem je jistá elipsa se středem
v počátku.
Extrémy funkce $f$ vzhledem k této elipse tedy budou v jejích vrcholech. Pokud to už objevil někdo jiný,
tak se omlouvám - příspěvků je zde hodně a nestíhám přečíst všëchno. Časem snad se dostanu i k L. metodě.

jelena · 19. 01. 2015 20:40

↑ blak:

děkuji, to je dobře, že vyšlo a ještě lépe, že se zvýšilo odhodlání :-) "Paní Jelena" bude ideální - připomíná mi to a tam se všem říkalo "paní", jelikož děj probíhal v polské kavárně.

↑ Rumburak: děkuji velice. Elipsu jsem, tuším, objevila (ale za cenu ztráty $z=2$ ), tak nevím, zda ten objev byl k užitku.

kolega Rumburak napsal(a):
Časem snad se dostanu i k L. metodě.

to vůbec nespěchá, jak vyjde čas a nálada (nejde přímo o LM přes 2 lambdy, tu jsem přepočetla a překontrolovala, v tom problém není), ale o možnost/nemožnost dosazovat jednu z vazeb do zadaní funkce (nebo vazbu do vazby).

A pozdrav.

Rumburak

↑ jelena:

Dle pokynu zdravím :-) .

Takže pro $X = [x, y, z]$ máme funkce

$f(X) := x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ,
$g(X) := x^{2}+y^{2}$ ,
$h(X) := x+3y-5z$

a hledáme extrémy funkce $f$ vázané podmínkami

(0) $g(X) = 10$ , $h(X) = 0$ .

Budeme potřebovat gradienty uvedených funkcí:

(1) $\nabla f(X) = (2x, 2y, 2z)$ ,
(2) $\nabla g(X) = (2x, 2y, 0)$ ,
(3) $\nabla h(X) = ( 1, 3, -5)$ .

Z věty o L.m. vyplývá: nachází-li se hledaný vázaný extrém v bodě $X = [x, y, z]$ , potom vektory
(1), (2), (3) jsou lineárně závislé, takže čtvercová matice $M_f$ , jejímiž řádky jsou tyto vektory, má
determinant rovný 0. K rovnicím (0) tak získáváme třetí rovnici pro neznámé $x, y, z$ .

Tento postup mi zde připadá výhodnější než pracovat přímo s multiplikátory. Vyšlo mi:

minimum v bodech $[ 3 , -1 , 0] , [-3 , 1 , 0]$ ,
maximum v bodech $[ 1 , 3 , 2] , [ -1 , -3 , -2]$ .

K alternativnímu postupu, když do předpisu funkce $f$ dosadíme vazební podmínku s funkcí $g$ :

Hledáme tedy extrémy funkce $F(X) := z^2 + 10$ pří týchž vazbách. Nyní je $\nabla F(X) = (0, 0, 2z)$
a tomu odpovídající matice $M_F$ bude mít řádky

(1') $\nabla F(X) = ( 0, 0, 2z)$ ,
(2') $\nabla g(X) = (2x, 2y, 0)$ ,
(3') $\nabla h(X) = ( 1, 3, -5)$ .

Snadno nahlédneme, že determinanty matic $M_f, M_F$ jsou si rovny.

Dosazovat vazbu do funkce (a řekl bych, že i vazbu do vazby) můžeme, ala s tou dosazenou vazbou
(v naší úloze s vazbou $g(X) = 10$ ) musíme zacházet úplně stejně, jako kdyby k dosazení nedošlo.
Například domnívat se , že se dosazením sníží počet multiplikátorů, by bylo chybou.

jelena · 20. 01. 2015 22:37

kolega Rumburak napsal(a):
Dle pokynu

:-) dostáváš růžový puntík a v celoročním hodnocení bude zohledněno. Ale tamto byl můj pozdrav, který s potěšením zopakuji, že pozdrav a děkuji velice.

Děkuji za podrobný rozbor, to mi zcela uniklo, že z geometrického pohledu (a nejen) se také mohu podívat na gradient (přitom v metodách to bývá). Doufám, že i kolega příspěvek podrobně projde, je to o hodně úspornější metoda (i když technikou, řeknu, srovnatelná s využitím Jakobiánu).

Také děkuji k vysvětlení k vazbám - samotné dosazování mi nepřišlo "zakázané", ale, že nejde tak snížit počet multiplikátorů, to budu brát jako fakt (doplním i poznámku do předchozích příspěvku, kde používám). Sice mi pořád není zcela jasné, jak vysvětlit i v geometrickém smyslu (ale to by ani pořádně nešlo, byla bych svou představou omezena v 3D).

Rumburak · 21. 01. 2015 09:59

↑ jelena:

Ahoj.

Sice mi pořád není zcela jasné, jak vysvětlit i v geometrickém smyslu ....

Kdysi jsem tu "geometrickou" stránku zde vysvětloval na úloze s jednou vazbou . Zkusím to najít a napíši odkaz.

blak · 21. 01. 2015 10:02

Zdravím,
Já to prostudoval, ale nějak nechápu o co se Rumburak snažil, za to můžou ty čáry máry ;) Vzhledem k tomu, že já podle zadané fce nepoznám o jaký geo. tvar jde, tak ani nechápu to vysvětlení. Nicméně jsem na ten příklad už přišel a kdyby někoho zajímalo, proč mi to nevycházelo, tak šlo o mou "numerickou" chybu s mezerou, že jde o vzorec :(

jelena · 21. 01. 2015 13:47

Zdravím,

↑ Rumburak: děkuji, já jen mám trošku potíž si odůvodnit - dosazením vazby do zadání funkce provádím řez plochy definované předpisem funkce řezem plochy definované vazbou, tedy si tak v 3D vytvořím jejich společnou křivku a na této křivce vyšetřuji extrém s ohledem na druhou vazbu, která už (pokud jde) vyznačí bod. Obdobně bych si "představovala" i výš, než 3D, že spojením vazby a funkce mi vzniká nová "jednodušší" funkce, kterou budu vyšetřovat.

Jen to nějak mi není jasné, proč pořád musím uvažovat i tu použitou vazbu. Ale mé "trošku potíž" není žádná potíž: mně stačí, když se řekne, že tak je chybně :-)

↑ blak: možná projít např. tento materiál (nebo upřesnit, zda by nebyl odkaz na váš materiál - 2 vazby je např. specifikum VŠE z mého pozorování). Jinak přenechám debatu kolegovi Rumburakovi (to bude mít větší efekt). Také samozřejmě záleží, jak moc v tomto zkouškovém období máš prostoru na podrobnější seznámení.

Pokud píšeš, že už úlohy vycházejí a jsou spíš numerické chyby, tak už je to dobrý posun oproti úvodu tématu.

Rumburak

↑ jelena:

Také zdravím.

Jen to nějak mi není jasné, proč pořád musím uvažovat i tu použitou vazbu.

Přiznám se, že Tvá úvaha mne na chvíli zviklala, takže jsem si to raději přepočítal:

Hledejme tedy pro změnu extrémy funkce $V(x, y, z) := z^2 + 10$ s vazbou $h(x) := x + 3y - 5z = 0$ .
Metodou L. m. dostáváme rovnici $\nabla V(X) = \lambda \cdot \nabla h(X)$ platnou pro vhodné $\lambda$ , tedy
$(0, 0, 2z) = \lambda (1, 3, -5)$ , odtud $\lambda = 0, z = 0$ , $x, y$ libovolná (třeba i splňijící $x^2 + y^2 = 10$ ).

Problém vidím v tom, že dosazením vazby do funkce , jejíž extrémy hledáme, dojde obecně ke změně této funkce
(geometricky řečeno jejího grafu) v bodech nevyhovujících vazbě, což by nevadilo, pokud bychom s dosazenou vazbou
počítali i nadále v plném rozsahu daném větou o L. m. Ale když ji vynecháme "z výpočtu" podle této věty, pak dostaneme
výsledek takový, jako kdybychom hledali extrémy (pozměněné funkce) přes POZMĚNĚNOU MNOŽINU.
Když ale ve výpočtu vazbu uplatníme, zůstane vše v pořádku, protože body, v nichž funkce byla pozměněna, budou
vyloučeny ze hry.

jelena · 21. 01. 2015 16:24

↑ Rumburak:

děkuji, to jsem neměla v plánu viklat. Ale musíš uznat, že ten dopad je takový nečekaný (nebo, co je horší - maskovaný, jelikož část bodů jsme našli).

Tedy jednoznačně:

Když ale ve výpočtu vazbu uplatníme, zůstane vše v pořádku, protože body, v nichž funkce byla pozměněna, budou
vyloučeny ze hry.

Děkuji za téma.

blak · 23. 01. 2015 11:06 — Editoval blak (23. 01. 2015 12:55)

Rumburak mohl by jsi mi rozepsat jak si přišel k řešení minima (-3,1,0) s multiplikátory ? Já to stále nechápu, dořešil jsem jen to maximum, ale nezbylo mi nic, jak vyjádřit minimum :(

Já se k minimu dostal jen způsobem od Jeleny s dosazením jedné vazby do zadání a pak už s ní dál nepočítal. Takhle mi minimum vyšlo, ale nevyšlo zas maximum.

Edit: Já se k minimu a maximu dostal jen Jacobiánem, ale zajímala by mě ta cesta pomocí LM, abych viděl, kde je zakopaný pes. Přeci jen test se blíží a rozvádět tam dva způsoby je časově náročné.

jelena · 23. 01. 2015 13:40

Zdravím,

↑ blak: kolega Rumburak v předchozích příspěvcích došel k závěru, že dosazovat vazbu můžeme, ale stejně musí být zahrnuta i v LM (tedy pořád budeme mít 2 lambdy, jen snad ten výpočet může být rychlejší.

$L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=z^2+10+\lambda_1(x^2 + y^2-10)+\lambda_2(x + 3y - 5z)$ zůstává. Pokud jsem počítala dobře, tak z prvních řádů (derivace po x, po y) dostaneš
$2x\lambda_1+\lambda_2=0$
$2y\lambda_1+3\lambda_2=0$
sečtením a úpravou máme součin $\lambda_1(-6x+3y)=0$ , který je dobře použitelný pro další výpočty. Překontroluj ale, prosím.

Rumburak

↑ blak:

Pro $X = [x, y, z]$ máme funkce

$f(X) := x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ,
(1) $g(X) := x^{2}+y^{2}$ ,
(2) $h(X) := x+3y-5z$

a hledáme extrémy funkce $f$ při vazebních podmínkách $g(X) = 10 , h(X) = 0$ . Jak již bylo vysvětleno,
tentýž výsledek dostaneme, když při zachování vazebních podmínek nahradíme funkci $f$ funkcí $V(X) := 10 + z^{2}$
získanou z $f$ dosazením první vazební podmínky. Podle věty o L.m. pak hledáme čísla $\lambda, \mu$ taková, aby

$0 = 2x\lambda + \mu$ ,
$0 = 2y\lambda + 3\mu$ ,
$2z = - 5\mu$ .

Odtud $\mu =- \frac {2}{5} z$ a tedy $0 = 2x\lambda - \frac {2}{5} z , 0 = 2y\lambda - \frac {6}{5} z$ , z posledních dvou rovnic máme

(*) $5\lambda x = z , 5\lambda y = 3z$ .

Další postup se větví na dvba případy:

I. $\lambda = 0$ , tedy i $z = 0$ a zbývající souřadnice hledaného kandidáta na extrém vypočteme ze soustavy

$x^{2}+y^{2} = 10 , x+3y = 0$ plynoucí z vazebních podmínek.

II. $\lambda \ne 0$ . Ze soustavy (*) vyjádříme $x = \frac{z}{5\lambda} , y = \frac{3z}{5\lambda}$ a dosadíme do vazebních podmínek.
Z podmínky (1) pak vyplyne $z\ne 0$ , takže rovnici $\frac{z}{5\lambda} + 3\cdot \frac{3z}{5\lambda} - 5z = 0$ plynoucí z (2) můžeme
vydělit proměnnou $z$ a dostaneme rovnici již s jedinou neznámou $\lambda$ . Atd. - to jsi zvádl, jak soudím z dotazu.