Matematické Fórum

math.oaf · 12. 03. 2009 13:27

Caute, prosim vas neviete ktosi dokaz, alebo aspon navod ako dokazat ze ide LS upravit na PS $\int\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx=Q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+k\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$ Diki moc.

Rumburak · 12. 03. 2009 14:15

Upravil bych rovnost tak, aby integrály byly na levé straně a výraz bez integrálu na pravé, pak bych tuto rovnost zderivoval.
Tím z integrálů na levé straně zůstanou pouze integrandy, což porovnáme s derivací pravé strany a učiníme patříčnou úvahu.

musixx · 12. 03. 2009 14:35

↑ math.oaf: Podivej se napr. zde, cast B3).

math.oaf · 12. 03. 2009 21:41

no takže dostal som ze by malo platit $Q_{n-1} (x)(ax^2+bx+c)=x(R_{n}(x)+k)$ , kde R_n, a, b, c su pevne ak ma $ax^2+bx+c$ koplexne korene, tak vieme najst pre jeden take k aby platilo $R_{n}(x)+k=0$ potom to plati aj pre komlexne zdruzene cislo k x a je to, $(ax^2+bx+c) deli (R_{n}(x)+k)$ , aspon myslim, ale ako to je pri realnych netusim...

Rumburak

Zkoumanou integrální identitu označme (I) . Její význam je dvojí:
1. význam vzorce, jímž se daný integrál vlevo převádí na jednodušší integrál vpravo,
2. význam rovnice, jejímž prostřednictvím nutno dopočítat tzv. "neurčité součinitele" , tj. číslo k a koeficienty v polynomu Q_n-1(x)
tak, aby rovnost (I) platila na intervalu, kde integrujeme.

Způsob, jak s (I) zacházet ve smyslu 2, ukáži na příkladu pro n = 2 . Označme

(O) Y(x) = sqrt(a*x^2 + b*x + c) , P(x) = P_2(x) = D*x^2 + E*x + F , Q(x) = Q_1(x) = U*x + V .

Tedy a, b, c, D, E, F jsou známá čísla, zatímco U, V, k jsou neznámé, které chceme určit tak, aby platilo (I) na intervalu, kde integrujeme .

Identitu (I) při označení dle (O) zderivujeme podle x , čímž obdržíme

P(x)/Y(x) = U*Y(x) + (U*x + V)*(1/2)*(2a*x + b)/Y(x) + k/Y(x) ,

po vynásobení výrazem Y(x) , uvážíme-li, že (Y(x))^2 = a*x^2 + b*x + c, se zlikviduje ta nepříjemná odmocnina a máme

(1) P(x) = U*(a*x^2 + b*x + c) + (U*x + V)*(1/2)*(2*a*x + b) + k .

Pravá strana poslední rovnosti je dále rovna (pokud jsem neudělal chybu)

(2*U*a )*x^2 + (3*U*b/2 + V*a)*x + (U*c + V*b/2 + k) ,

čímž z (1) dostáváme (po dosazení za P(x))

D*x^2 + E*x + F = (2*U*a )*x^2 + (3*U*b/2 + V*a)*x + (U*c + V*b/2 + k) .

Oborerm pravdivosti této identity musí být interval (na němž hledáme prim. fci), což znamená, že polynom
na levé straně musí být totožný s polynomem na pravé straně, což dává rovnice

2*U*a = D , 3*U*b/2 + V*a = E , U*c + V*b/2 + k = F

pro naše neznámé. Případné úvahy o kořenech a dělitelnosti účastněných polymomů přenechávám fundovanějším.

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2009 13:27

Ostrogradskeho metoda n.k.

#2 12. 03. 2009 14:15

Re: Ostrogradskeho metoda n.k.

#3 12. 03. 2009 14:35

Re: Ostrogradskeho metoda n.k.

#4 12. 03. 2009 21:41

Re: Ostrogradskeho metoda n.k.

#5 14. 03. 2009 11:00 — Editoval Rumburak (14. 03. 2009 11:13)

Re: Ostrogradskeho metoda n.k.

Zápatí