Matematické Fórum

nikolka123

Zdravím,
mám zadaný tento plošný integrál, s kterým si vůbec nevím rady. Pokud sem tedy dobře zvolil parametrizaci, jak tuto obludnou věc zintegrovat ?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/77984_plosny_intgrl.jpg

děkuji mnokrát za každou radu ;)

jelena · 26. 01. 2015 19:56

Zdravím,

parametrizace se mi zda v pořádku, celou obludu jsem nekontrolovala (derivaci a vektorový součin), ale pod odmocninou můžeš z prvních dvou vytknout $16\sin ^4\theta$ , další tři členy jsou z umocnění posledního řádku vektorového součinu, ještě před umocněním bych udělala toto $-4\sin \theta \cos \theta (sin^2\varphi+cos^2\varphi)$ a až potom upravit a umocnit.

Zkus to ještě tak projít a poupravovat, výsledek zkus přepsat v TeX - napravo od okna zprávy je Editor TeX. Děkuji.

nikolka123

Tak po Vaší radě se to podařilo dost zjednodušit :)
Ale ve finále stejně po dosazení parametrizace do integrálu za X, Y, Z vznikl další zádrhel. Žádné goniometrické vzorce už v tom nevidím..... Nemáte nějaký nápad na integraci ?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/70748_plosny_intgrl.jpg

Jj · 27. 01. 2015 19:24

↑ nikolka123:

Dobrý den. Řekl bych, že pro vlastní integraci jsou možné např. úpravy:

$\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(8\cos^3\varphi\sin^3\theta+8\sin^3\varphi\sin^3\theta+8\cos^3\theta)\cdot 4\sin \theta\,d\theta\,d\varphi=$

$=32\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\sin^4\theta(\cos^3\varphi+\sin^3\varphi)+\cos^3\theta\sin \theta))\,d\theta\,d\varphi=$

$\sin^4\theta=(\sin^2\theta)^2$ lze upravit postupným využitím identit $\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2},\,\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
na součet výrazů s goniometrickými funkcemi v první mocnině (funkce dvou a čtyřnásobný úhlů), které už je možno přímo integrovat,

$\cos^3\varphi=\cos\varphi(1-\sin^2\varphi)=\cos \varphi - \cos \varphi \sin^2\varphi$ - možno přímo integrovat,
podobně lze naložit s třetí mocninou sinu,

Poslední člen $\cos^3\theta\sin \theta$ lze přímo integrovat.

nikolka123 · 03. 02. 2015 16:04

Tak nastal další problém. Prý jsem měla řešit příklad přes ostrogradského. A to jsem vedle jak ta vedle... Neměl by jste prosímvás někdo radu na postup ?
děkuji

nikolka123 · 03. 02. 2015 16:54

Tak se mi podařilo příklad vyřešit. Oproti minulé verzi vyšel integrál krásně a jednoduše. Zde je výsledné řešení, kdyby se náhodou hodilo někomu příště :)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/78840_10968049_10203214378869503_1842505795_n.jpg

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2015 14:12 — Editoval nikolka123 (26. 01. 2015 14:13)

Plošný integrál koule

#2 26. 01. 2015 19:56

Re: Plošný integrál koule

#3 27. 01. 2015 15:57 — Editoval nikolka123 (27. 01. 2015 15:59)

Re: Plošný integrál koule

#4 27. 01. 2015 19:24

Re: Plošný integrál koule

#5 03. 02. 2015 16:04

Re: Plošný integrál koule

#6 03. 02. 2015 16:54

Re: Plošný integrál koule

Zápatí