Matematické Fórum

Pavel · 28. 01. 2015 18:47 — Editoval Pavel (28. 01. 2015 20:55)

Existuje reálná regulární matice $\mathbf A$ taková, že maticová rovnice

$\mathbf X^2=\mathbf A,$

kde $\mathbf X$ je neznámá reálná matice, má nekonečně mnoho řešení?

vanok · 28. 01. 2015 20:26

Ahoj ↑ Pavel:,
Iste sa zaujimas o riesenie tvojho problemu na telesach $\mathbb{R},\mathbb{C}$ .
Je jednoduche ukazat ze ak $X$ je riesenie problemu, tak $X$ a $A$ komutuju. A preto sa daju triangolizovat v tej istej baze.

Porozmyslaj trochu o tom. Vratim sa k tomuto zaujimavemu problemu ked budem mat viac casu.

Pavel · 28. 01. 2015 20:54

↑ vanok:

Veškeré úvahy by se měly odehrávat v $\mathbb R$ , raději upřesním zadání. Já řešení mám, jinak díky za tip.

kafe_arabica

Ahoj.

Nie som si úplne istý, lebo to je veľmi rýchle ...
Keďže A je regulárna, teda aj invertovateľná, musí byť X invertovateľná. Z toho, ide o matice rovnakej dimenzie. Pohybujeme sa v grupe invertovateľných prvkov. Tieto tvoria banachovu algebru B. Z vety (Geľfand - Mazur), B je izometricky izomorfná $\mathbb{C}$ . Teda tú rovnicu môžeme uvažovať v $\mathbb{C}$ , kvôli tomu izomorfizmu. V $\mathbb{C}$ má dve riešenia.

Edit: Ja som uvažoval komplexnú algebru. No mohlo by sa to dať nejako vyladiť.

Edit2: Vyladenie. S tými komplexnými číslami by nemal byť problém. Uvazujem algebru reálnych regulárnych matíc so skalármi komplexnými číslami.

Pavel · 28. 01. 2015 21:40

↑ kafe_arabica:

Pěkná úvaha ale tady -

...V $\mathbb{C}$ má dve riešenia...

- je problém

kafe_arabica · 28. 01. 2015 21:42

Môžeš to trochu rozvinúť, prečo to je problém?

Pavel · 28. 01. 2015 21:45

↑ kafe_arabica:

Problém je v tom, že těch řešení existuje občas více než 2.

xxMari · 28. 01. 2015 23:54

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel · 29. 01. 2015 07:46 — Editoval Pavel (29. 01. 2015 10:54)

↑ xxMari:

Výborně.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

kafe_arabica · 29. 01. 2015 10:42

Dalo by sa k tomu niečo viac povedať? Prekvapilo ma, že to má viacej ako 2 riešenia. Nerieši takéto záležitosti nejaká teória? Resp., nejaká/é veta/y ohľadom tohto.

Pavel · 29. 01. 2015 10:56 — Editoval Pavel (29. 01. 2015 10:57)

↑ kafe_arabica:

Bohužel do teorie matic až tak moc nevidím. Problém vyplynul zcela náhodou při psaní cvičebnice pro studenty. Možná by se k tomu mohl vyslovit někdo povolanější.

Ke svému řešení jsem doplnil ještě jednu zajímavou poznámku.

check_drummer · 29. 01. 2015 16:28

Ahoj, dalo by se cvičení zobecnit a charakterizovat všechny takové matice A?

Pavel · 29. 01. 2015 18:44 — Editoval Pavel (29. 01. 2015 18:46)

↑ check_drummer:

Úloha byla určena pro studenty 1. ročníku a vedla na nalezení řešení maticové rovnice $\mathbf X^2=\mathbf E_2$ , kde $\mathbf E_2$ je jednotková matice 2. stupně.

Bude-li $\mathbf A$ reálná čtvercová matice 2. stupně, tak obdobné výsledky lze obdržet, bude-li $\mathbf A$ diagonální a její determinant bude kladný.

Je zřejmé, že nutná podmínka existence řešení maticové rovnice $\mathbf X^2=\mathbf A$ je, aby matice $\mathbf A$ měla nezáporný determinant.

Dále lze ukázat, že má-li matice $\mathbf A$ všechny své čtyři prvky nenulové a má-li kladný determinant, pak rovnice $\mathbf X^2=\mathbf A$ může mít buď 2 nebo 4 řešení.

Pro vyšší stupně matice bude charakterizace určitě komplikovanější, podrobnosti neznám. Bude to určitě souviset s maticovými funkcemi, což má spojitost vlastními čísly a vektory, charakteristickými polynomy apod.

vanok · 29. 01. 2015 19:23

↑ Pavel:,
Pridavat este malu poznamku.
Ak sa limitujeme na involucie (ktore su vlastne symétrie, v pripade lin. aplikacii) tak pridavam toto citanie http://en.m.wikipedia.org/wiki/Involutory_matrix

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2015 18:47 — Editoval Pavel (28. 01. 2015 20:55)

Odmocnina z matice

#2 28. 01. 2015 20:26

Re: Odmocnina z matice

#3 28. 01. 2015 20:54

Re: Odmocnina z matice

#4 28. 01. 2015 21:06 — Editoval kafe_arabica (28. 01. 2015 21:25)

Re: Odmocnina z matice

#5 28. 01. 2015 21:40

Re: Odmocnina z matice

#6 28. 01. 2015 21:42

Re: Odmocnina z matice

#7 28. 01. 2015 21:45

Re: Odmocnina z matice

#8 28. 01. 2015 23:54

Re: Odmocnina z matice

#9 29. 01. 2015 07:46 — Editoval Pavel (29. 01. 2015 10:54)

Re: Odmocnina z matice

#10 29. 01. 2015 10:42

Re: Odmocnina z matice

#11 29. 01. 2015 10:56 — Editoval Pavel (29. 01. 2015 10:57)

Re: Odmocnina z matice

#12 29. 01. 2015 16:28

Re: Odmocnina z matice

#13 29. 01. 2015 18:44 — Editoval Pavel (29. 01. 2015 18:46)

Re: Odmocnina z matice

#14 29. 01. 2015 19:23

Re: Odmocnina z matice

Zápatí