Matematické Fórum

MatthewM

Dobrý den, mám menší potíž s výpočtem následujícího příkladu:

Určete kvadratickou funkci tak, aby nabývala minima v bodě [0,-4] a aby graf této funkce spolu s osou x omezoval rovinný obrazec o obsahu 16.

Můj postup

Jelikož vím, že minimum je v bodě [0,-4], tak už mohu z části určit předpis funkce, kterým je $y=ax^{2}-4$ a proto musím zjistit jen neznámou a. Jelikož vím, že obsah je 16, tak pomocí vzorce o rovinném obrazci mohu zapsat: $\int_{-e}^{e}(ax^{2}-4)dx=16$ (kde -e a e jsou průsečíky s osou x)

Mám tedy 2 rovnice: $y=ax^{2}-4$ a $\int_{-e}^{e}(ax^{2}-4)dx=16$ , u kterých jsem skončil a nemohu se dopracovat výsledku.

Výsledek: $y=\frac{4}{9}x^{2}-4$

Možná už od počátku se někde mýlím, každopádně děkuji každému za jeho pomoc.

Anonymystik

↑ MatthewM: Jsi už skoro u cíle. Finta spočívá v tom, že body $-e, e$ , mezi kterými provádíš integraci, jsou svázány podmínkou, že to jsou průsečíky s osou x: $y(e)=0$ , tj. $ae^2 - 4 = 0$ . Druhá rovnice $\int_{-e}^{e}(ax^{2}-4)dx=-16$ lze přepsat po integraci do tvaru $(a\frac{e^3}{3} - 4e + C) - (a\frac{(-e)^3}{3} - 4(-e) + C) = -16$ , integrační konstanta $C$ se požere. To mínus na pravé straně jsem dal proto, protože ta plocha bude pod osou x. Tím máš soustavu dvou rovnic o dvou neznámých $a, e$ . A to už určitě zvládneš. ;-)

MatthewM · 13. 02. 2015 15:22

↑ Anonymystik:

To mě nenapadlo a ani jsem nečekal tak brzkou odpověď, každopádně mnohokrát dík a já téma označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2015 14:14 — Editoval MatthewM (13. 02. 2015 14:16)

Obsah rovinného obrazce - Integrální počet

#2 13. 02. 2015 15:02 — Editoval Anonymystik (13. 02. 2015 15:17)

Re: Obsah rovinného obrazce - Integrální počet

#3 13. 02. 2015 15:22

Re: Obsah rovinného obrazce - Integrální počet

Zápatí