Matematické Fórum

xstudentíkx

Dobrý den,

Potřebuji pomoc jak zjistit $\sqrt{3+4i}$ . Mé řešení:

$\sqrt{3+4i}=x$

$x^{2}-3-4i=0$

$a=3+4i$ a $|a|=5$ z toho $|x|=\sqrt{5}$

Pokud dosadím mám: $3+4i=5(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ z toho mi vychází, že $\cos \alpha =\frac{3}{5}$

Z čehož mi vyšlo, že $\alpha \doteq 53,13^\circ$ to mohu případně převést na radiány, což je $0,927rad$

Jenomže pokud pak dosadím a vyjdou mi jednak (pochopitelně) 2 výsledky a nevyjde mi $2+i$ .

Prosím někoho o vysvětlení jak mám postupovat.

Rumburak

↑ xstudentíkx:

Ahoj.

Výpočet úhlu $\alpha \doteq 53,13^\circ$ z rovnice $3+4i=5(\cos \alpha +i \sin \alpha )$ jsem nekontroloval,
avšak argument kořene $x$ bude $\frac{\alpha}{2}$ resp. $\frac{\alpha}{2} + \pi$ , tedy 2 řešení (viz binomické rovnice).

Místo přibližného řešení bude lepší použít vzorec pro sinus resp. cosinus polovičního argumentu.

Freedy · 16. 02. 2015 15:29

Ahoj, můžeš zkusit rovněž toto
odmocnina z komplexního čísla se bude rovnat komplexnímu číslu:
$\sqrt{3+4\text{i}}=a+b\text{i}$ umocníš
$3+4\text{i}=a^2+2ab\text{i}-b^2$ a nyní porovnáš reálnou a imaginární část, tedy:
$a^2-b^2=3$
$4=2ab$
z čehož snadno zjistíš, že to je splněno pro
$a = 2$ $b=1$
$a=-2$ $b=-1$

xstudentíkx

↑ Rumburak:

Děkuji za reakci. Bohužel však nevím jak z toho získat $2+i$ , což je správné řešení. Takto jsem to řešit zkoušela (Nemá být místo $\frac{\alpha}{2} + \pi$ $\frac{\alpha}{2} +2\pi$ ?).

↑ Freedy:

Moc děkuji :) Takto to je i z hlediska délky výpočtu rychlejší. A výsledky vyjdou tedy dva (Wolfram mi dal pouze variantu 2+i)

zdenek1 · 16. 02. 2015 15:39

↑ xstudentíkx:
$3+4i=4+2\cdot 2\cdot i+i^2=(2+i)^2$

xstudentíkx · 16. 02. 2015 15:53

↑ zdenek1:

Také děkuji

Rumburak

↑ xstudentíkx:

Ano, i hodnoty $\frac{\alpha}{2} + \pi$ , $\frac{\alpha}{2} +2\pi$ odpovídají správnému řešení (viz periodicita funkcí sin, cos).

Jinak s použitím vzorců pro poloviční argument máme

(1) $|\cos \frac{\alpha}{2}| = \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} , |\sin \frac{\alpha}{2}| = \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$ ,

kde $\cos \alpha = \frac{3}{5} , \sin \alpha = \frac{4}{5}$ , tudíž oba úhly $\alpha , \frac {\alpha}{2}$ jsou v prvním kvadrantu, takže
absolutní hodnoty v (1) můžeme "zapomenout" a získáváme

$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}} =\sqrt{ \frac{8}{10}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ , obdobně $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ atd.