Matematické Fórum

check_drummer · 12. 02. 2015 16:59

Ahoj,
1) začněme jednodušší úlohou: Nechť f je psojítá funkce z R do R a (*) existuje c, že f(f(c))=c. Dokažte, že potom (**) existuje d, že f(d)=d.
2) Platí ovšem zobecnění této věty? Tj. je-li f spojitá funkce z $R^k$ do $R^k$ splňující (*), platí potom i (**)?

Brano · 13. 02. 2015 18:24

1) predpokladajme, ze $f$ je spojita a nema pevny bod, potom $f(x)-x\not=0$ - bez ujmy na vseobecnosti mozme predpokladat, ze $f(x)-x>0$ a teda $f(f(x))-x=[f(f(x))-f(x)]+[f(x)-x]>0$ teda ani $f\circ f$ nema pevny bod.

2) kontrapriklad pre $R^2$ : funkcia $f(x,y)=(x+\pi\cos x,y+\pi\sin x)$ nema pevny bod, ale $f\circ f$ ma pevny bod $(0,0)$ . Z neho sa da vyrobit kontrapriklad pre lubovolne $R^k$ - staci manipulovat s prvymi dvoma suradnicami.

vanok · 13. 02. 2015 19:31 — Editoval vanok (13. 02. 2015 19:37)

Ahoj ↑ check_drummer:, o↑ Brano:
I ked poznam odpoved pridavam
Nech f je spojita fonkcia z R do R a nech existuje c take ze $f(f(f(c))))=c, f(c)\ne c, f(f(c))) \ne c$ ( povieme, ze c je cyklus radu 3)
Co mozme povedat o f?

Priklad takej funkcie, aby ste videli, ze existuje.
f je taka, ze
$f(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{11}{2}x-2$
$c=1$ , cyklus radu 3.

vanok · 14. 02. 2015 22:13 — Editoval vanok (17. 02. 2015 12:01)

Pozdravujem,
Pridavam jednoduchu formu vseobecnejsieho vysledku.
Ak $f:J\to J$ , kde $J$ je realny interval, $a$ bod periody 3,
potom $f$ ma v $J$ periodicke body pre kazdu periodu $k>0$
Dokaz tejto vlasnosti, da odpoved na ↑ vanok:.
Poznamka: po diskuzii o tejto vlasnosti, pridam podrobnosti o vseobecnejsej vlasnosti.

vanok · 17. 02. 2015 12:00 — Editoval vanok (18. 02. 2015 00:12)

Pozdravujem ↑ vanok:,
Akoze, diskuzia sa zatial nepohla, tak
davam tu indikacie na vseobecnu Sarkovskeho teoremu (#193)
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 51#p463951
ktora da odpoved aj na predoslu otazku ( i ked jej priamy dokaz existuje).
Zaujemci najdu na webe aj dokaz vseobecnej teoremy.

vanok · 17. 02. 2015 12:11

Poznamka.
Zda sa mi, ze tato tema parti skor do zaujimavych uloh z analyzy. Ide o problemy z teorie pevnych bodov , cyklov funkcii alebo aj o chaose ... Bolo by dobre vediet ako to kolega ↑ check_drummer: vidi.

check_drummer · 17. 02. 2015 22:38

Ahoj, děkuji za reakce. je to zajímavá úloha - jen jsem nevěděl, zda její řešení není příliš triviální.
Podle mého je důvod, že uvednou vlastnost má zobrazení f z R^k do R^k jen pro k=1 ten, že jen pro k=1 množina bodů [x,x], x z R^k "rozděluje" prostor R^k x R^k na dvě části. Pro ostatní k je už prostor příliš velký (bohatý).

Matematické Fórum

#1 12. 02. 2015 16:59

Vlastnost spojité funkce a pevného bodu

#2 13. 02. 2015 18:24

Re: Vlastnost spojité funkce a pevného bodu

#3 13. 02. 2015 19:31 — Editoval vanok (13. 02. 2015 19:37)

Re: Vlastnost spojité funkce a pevného bodu

#4 14. 02. 2015 22:13 — Editoval vanok (17. 02. 2015 12:01)

Re: Vlastnost spojité funkce a pevného bodu

#5 17. 02. 2015 12:00 — Editoval vanok (18. 02. 2015 00:12)

Re: Vlastnost spojité funkce a pevného bodu

#6 17. 02. 2015 12:11

Re: Vlastnost spojité funkce a pevného bodu

#7 17. 02. 2015 22:38

Re: Vlastnost spojité funkce a pevného bodu

Zápatí