Matematické Fórum

gemat · 14. 03. 2015 20:51

Zdravím, může mí někdo poradit, jak na parciální zlomky převést a poté příp. zintegrovat toto?

$\int_{}^{}\frac{1}{(x^2+5x+12)^2}$
Vím, že ve jmenovateli vyjdou komplexní kořeny, ale nevím, jak s tím pokračovat dále :) Děkuji

jelena · 14. 03. 2015 21:56

Zdravím,

místo parciálních zlomků bych nabídla metodu Ostrogradského, která je u tohoto typu výhodná - viz odkaz, metoda B3. Stačí tak? Děkuji.

gemat · 15. 03. 2015 11:46

↑ jelena:↑ jelena:
Zkoušel jsem to přes toho Ostrograndského, ale pořád mi tam vychází soustava rovnic s parametrem.... a nevím, jestli je to dobře ... když si totiž zvolím tam svůj parametr, tak mi vyjde trochu jiný výsledek, než když mi to vypočte wolfram....

jelena · 15. 03. 2015 12:05

↑ gemat:

děkuji, to se mi nezdá, že by Ostrogradskij dělal takový nepořádek. V čitatelich má být lineární vztah (o 1 stupeň menší, než jmenovatel, kde je kvadratický), tedy $Ax+B$ a $Cx+D$ . Tak to máš jako 1. krok?

Potom ještě pomůže upravit si $(x^2+5x+12)$ na čtverec $(x+k)^2+q^2$ a zavést si "malou substituci" za $x+k$ , nebo rovnou za $(x+k)/q$ , úpravy to ještě zjednoduší. Jinou metodu "takovou umělou, ale účinnou" ukazoval kolega, když jsme diskutovali novou verzi MAW. Ale zkus sem vypsat Tvého Ostrogradského, v čem by mohl být problém. Děkuji.

gemat · 15. 03. 2015 12:22

↑ jelena:

$\int_{}^{}(\frac{1}{(x^2+5x+12)^2})=(\frac{Ax^2+Bx+C}{x^2+5x+12})' + \frac{Dx^2+Ex+F}{x^2+5+12}$

aspoň jsem to tak pochopil podle tvého odkazu :)

gemat · 15. 03. 2015 12:55

↑ jelena:
ale když to dosadím do
$(\frac{Ax+B}{x^2+5x+12})' + \frac{Cx+D}{x^2+6x+12}$
tak to vychází, ale v tom odkazu, a který jsi mě směrovala, jsem to bohužel nenašel :)

jelena · 15. 03. 2015 13:09

↑ gemat:

ano, máš pravdu, že v odkazu se to musí domýšlet - součin jmenovatelů musí dávat původní jmenovatel, to máme. Čitatel každého zlomku má být o stupeň menší, než jmenovatel, a to proto, aby byl ryze racionální zlomek (pokud bys měl stejné stupně, jak máš v návrhu ↑ příspěvek 5: (čitatel a jmenovatel kvadratický), potom bys ještě mohl dělit čitatele a jmenovatele.

Odkazů na teorii k Ostrogradskému najdeš více, zkus pohledat, který bude snad i s odvozením, něco jsem dávala na fórum, nebo kolega dával.

gemat · 15. 03. 2015 13:13

↑ jelena:

Díky za odpovědi, dodělal jsem to, jak jsem již psal, přes ten tvůj postup Ax+B a Cx+D, protože v tom prvním jsem se ztratil :)

Každopádně díky!

gemat · 15. 03. 2015 13:15

↑ jelena:
Jo a vlastně prakticky se jedná o kombinaci Ostrograndského a metody neurčitých koeficientů, jestli jsem to tedy správně pochopil :)

jelena · 15. 03. 2015 14:21

↑ gemat:

jako "metoda neurčitých koeficientů" se označuje více metod (rozumím tomu tak, že ze zadání vytvořím vztah, který bude platný, když naleznu koeficienty) - potom je technika na vytváření vztahu - např. parciální zlomky a Ostrogradskij a k tomu technika, jak hledat koeficienty. Kolega říká, že MAW bere za metodu Ostrogradského něco jiného (ale všude jsou neurčité koeficienty).

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2015 20:51

integrace přes parciální zlomky

#2 14. 03. 2015 21:56

Re: integrace přes parciální zlomky

#3 15. 03. 2015 11:46

Re: integrace přes parciální zlomky

#4 15. 03. 2015 12:05

Re: integrace přes parciální zlomky

#5 15. 03. 2015 12:22

Re: integrace přes parciální zlomky

#6 15. 03. 2015 12:55

Re: integrace přes parciální zlomky

#7 15. 03. 2015 13:09

Re: integrace přes parciální zlomky

#8 15. 03. 2015 13:13

Re: integrace přes parciální zlomky

#9 15. 03. 2015 13:15

Re: integrace přes parciální zlomky

#10 15. 03. 2015 14:21

Re: integrace přes parciální zlomky

Zápatí