Matematické Fórum

Rapier · 14. 03. 2015 15:37

Mame usecku nedefinovanej dlzky.
Chceme ju rozdelit v takom bode, aby pomer kratsej casti k dlhsej, bol rovnaky ako pomer dlhsej casti k celej usecke.
Da sa to urobit iba v jednom bode, aby to platilo.

Dakujem !

P.s.: nenahnevam sa, ak mi to vysvetlite ako blbeckovi, pretoze matematika je pre mna 'spanielska dedina'

¯\_(ツ)_/¯

byk7 · 14. 03. 2015 15:40

1) dá se to udělat ve dvou bodech,

2) zkus si najít něco o konstrukci zlatého řezu ;-)

scirocco · 14. 03. 2015 15:52

To je tzv. zlatý rez. Najprv si musíš vypočítať v akom pomere sú tie úsečky.
Teda povedzme, že na úsečke AB hľadáme bod $X$ , tak aby platilo: $|AX|:|XB|=|AB|:|AX|$ .

Po úpravách dostaneš kvadratickú rovnicu, ktorej jeden koreň bude vyhovovať konštrukcii (nebude záporný) a podľa neho vyhotovíš konštrukciu.

Inak to nie je zasa až tak triviálne, tak sa asi trochu potrápiš. ;)

Rapier · 14. 03. 2015 17:51

scirocco napsal(a):
To je tzv. zlatý rez. Najprv si musíš vypočítať v akom pomere sú tie úsečky.
Teda povedzme, že na úsečke AB hľadáme bod $X$ , tak aby platilo: $|AX|:|XB|=|AB|:|AX|$ .

Po úpravách dostaneš kvadratickú rovnicu, ktorej jeden koreň bude vyhovovať konštrukcii (nebude záporný) a podľa neho vyhotovíš konštrukciu.

Inak to nie je zasa až tak triviálne, tak sa asi trochu potrápiš. ;)

Tie znaky: |AB| znamenaju absolutnu hodnotu ?
a dvojbodka znaci co ?

To uz bolo fakt davno kedy som take zapisy videl
Ak by si to ukazal nejako s cislami, aby som vobec pochopil ten zapis, budem rad

scirocco · 14. 03. 2015 19:47

↑ Rapier:

$|AB|$ znamená dĺžku úsečky AB. Dvojbodka značí pomer, lomeno. Máš úsečku AB a na nej niekde (tak aby platil ten pomer) bod $X$ .

Označ si napr. $|AB|=a, |AX|=x$ . Potom $x$ je ten pomer ktorý hľadáš, ten zlatý rez. Pre dĺžka úsečky XB platí: $|XB|=a-x$ .

Zostav z toho rovnicu, tú vyrieš a porozmýšľaj čo ti vyšlo a ako z toho odvodiť geometrickú konštrukciu bodu $X$ . No?

Rapier · 14. 03. 2015 21:00

neviem to zostavit tak aby z nicoho ( z pismenok) vyslo cislo
zajtra sa k tomu vratim

scirocco · 14. 03. 2015 21:12

↑ Rapier:

Nemá ti vyjsť číslo, má ty "vyjsť" spôsob konštrukcie.

Máš úsečku AB. Niekde na nej bod X. Podľa zadania úlohy vieš, že $\frac {x}{a-x}=\frac {a}{x}$ . Pričom $x$ je ten neznámy pomer, alebo vzdialenosť bodu $X$ od bodu $A$ .

Skús vyriešiť tú rovnicu, potom pôjdeme ďalej.

Rapier · 15. 03. 2015 13:13 — Editoval Rapier (15. 03. 2015 13:13)

Ale ta tvoja rovnica znamena ze:

mensie / vacsie = cele / mensie

ale nemalo by to byt takto ?

mensie / vacsie = mensie / cele
- teraz sa tie pomery rovnaju.
cize napr. 1 ku 3 = 1 ku 3
ale ty si dal ze 1 ku 3 = 3 ku 1

scirocco · 15. 03. 2015 16:51

Ta "moja" rovnica znamená to, čo je v zadaní príkladu. Prečítaj si zadanie a porovnaj s rovnicou. A skús tú rovnicu vyriešiť.

Rapier · 15. 03. 2015 20:29

takze, vyslo mi toto, co som sam vyratal:
$x^2 + ax - a^2 = 0$

ale vyriesit som to nevedel, ani s googlom.

ale niekto mi to vyriesil a vysledok je:
$x = (\frac {-1 + \sqrt 5} 2) a$
$x = (\frac {-1 - \sqrt 5} 2) a$

lenze to nevychadza, lebo ak dame dlzku usecky akoze 10. teda a = 10.
tak jedno x vyjde 5,115 a druhe x vyjde -15,115.
x ma byt ta 'kratsia' polka usecky = AX.

nesedi to ani, ak by to mala byt dlzka a ani ak by to bol pomer ani nic

misaH · 15. 03. 2015 20:57

↑ Rapier:

Prečo si nenájdeš ten zlatý rez?

Napríklad:

http://sk.m.wikipedia.org/wiki/Zlatý_rez

scirocco · 15. 03. 2015 20:58

Výborne. To že $x_2$ nesedí (lebo je záporný), nevadí, ten koreň nám nevyhovuje. Budeme sa teraz venovať tomu prvému $x_1$ . Ten treba upraviť tak, aby sme z neho vedeli geometricky skonštruovať ten zlatý rez, teda presnú polohu bodu X, na úsečke AB. No ako na to? Skús niečo navrhnúť!

Rapier · 15. 03. 2015 21:11 — Editoval Rapier (15. 03. 2015 21:12)

scirocco napsal(a):
Výborne. To že $x_2$ nesedí (lebo je záporný), nevadí, ten koreň nám nevyhovuje. Budeme sa teraz venovať tomu prvému $x_1$ . Ten treba upraviť tak, aby sme z neho vedeli geometricky skonštruovať ten zlatý rez, teda presnú polohu bodu X, na úsečke AB. No ako na to? Skús niečo navrhnúť!

Spomal trosku :)

Podla coho mam vediet, ze nepotrebujeme ten zaporny koren ale ten kladny ? A tiez ako viem, ze tie vysledky su dobre, ked to nedava zmysel a nemam si to ani s cim porovnat. Potom ako som dosadil do tych korenov dlzku usecky, uplne od veci cisla vysli. Ako to mam zuzitkovat ?

Navrhnut neviem nic, kedze ani neviem co mi vyslo, preco to hentak vyslo a ako to mozem vyuzit.

P.s.: Nema toto forum IRC kanal ?

scirocco · 15. 03. 2015 21:32

Záporný koreň nepotrebuješ preto, lebo dĺžka úsečky nemôže byť záporná. Tiež je jasné, že úloha bude mať len jedno riešenie, takže to, že má len jeden koreň kladný, je v poriadku.

Numericky si to môžeš približne skontrolovať tak, že za dosadíš nejakú konkrétnu hodnotu, a spočítaš či ti to "sedí". Ak dosadíš $a=1$ , tak by ti mala vyjsť tá hodnota zlatého rezu, čo je asi $\varphi=1,61...$ .

Ale ty máš rozdeliť v tomto pomere úsečku AB, takže potrebuješ nájsť bod X. (Ale nie tak že to odmeriaš pravítkom.)

Tak sa skús potrápiť, ako na to, aj keď tento krok je z celej úlohy najťažší.

Rapier · 16. 03. 2015 16:08

1,61 vyjde iba v tom zapornom koreni, ktory nechceme

a ozaj neviem ako najst ten bod.
ved mozno ani netreba, ked nam staci vediet 1,61
lebo ak mam usecku dlzky 10 jednotiek a urobim 10 / 1,61 = 6,2111

je to dobre, lebo ked vezmeme do uvahy ze pri zlatom reze, sa kratsia cast priblizuje k dlzke 1/3, cize to je 2/3 pre dlhsiu, cize 10 / 1,666666 = 6,000

scirocco · 16. 03. 2015 17:02

Nestačí nám vedieť že je to asi 1,61.

Ten prvý výsledok uprav:
$x_1 = \left(\frac {-1 + \sqrt 5} 2\right) a$
$x_1 = \frac {\sqrt 5a}{2} -\frac a 2$
$x_1 = \sqrt\frac {5a^2}{4} -\frac a 2$
$x_1 = \sqrt{a^2+\left(\frac {a}{2}\right)^2} -\frac a 2$

Z toho posledného výrazu sa už dá skonštruovať bod $X$ . Ešte skús porozmýšľať.

Rapier · 23. 03. 2015 16:08

Nemam sajn. Najprv by som rad vedel:

Druhy riadok je vysledok roznasobenia citatela zlomku s a-ckom vsak ? (prveho riadka)
Treti a stvrty riadok su vysledky akych uprav ?

misaH · 23. 03. 2015 16:27 — Editoval misaH (23. 03. 2015 16:34)

$\sqrt {\frac{a^2}{4}}=\frac a2$ pre nezáporné $a$

$\frac{5a^2}{4}=\frac {4a^2+a^2}{4}=\frac{4a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=a^2+\frac{a^2}{4}$

Ale potrápiť si sa s dešifrovaním vari mohol aj sám, nie?

Sú to úpravy ZŠ.

scirocco · 23. 03. 2015 16:43

↑ Rapier:
Úpravy vysvetlila misaH a v poslednom výraze je odmocnina $\sqrt{a^2+\left(\frac {a}{2}\right)^2}$ rovná dĺžke prepony pravouhlého trojuholníka s odvesnami dĺžky $a$ a $a/2$ . Od tejto prepony ešte musíš odrátať (graficky, konštrukčne) zasa polovicu pôvodnej úsečky. Teraz už asi vieš ako skonštruovať zlatý rez.

vanok · 27. 03. 2015 13:09

Ahoj ↑ Rapier:,
↑ misaH: ( pozdravujem) ti tu poradila sk Wikipediu.
No vsak na engl. Wikipedii http://en.m.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio
najdes toho viac.

Rapier · 27. 03. 2015 14:52

vanok
Hej ja viem. Nasiel som uz kadeco o tom aj napr. ze podiel 2 po sebe nasledujucich cisel z Fibonaciho postupnosti (vacsie deleno mensie) je Zlaty rez. Cim vacsie cisla z F postupnosti pouzijes, tym presnejsi vysledok dostanes bliziaci sa k Zlatemu rezu.

Lenze si to chcem vediet vyratat sam akoby z nicoho. Pretoze tato myslienka si to zasluzi. Je to jeden z mala prikladov, kedy inak 'tupa' matematika presahuje to realneho zivota.
Problem vsak je, ze mne chybaju elementane znalosti matematiky pocnuc zakladnou skolou. Musim sa vsetko odznova naucit, lenze si nechcem kupit vsetky ucebnice co sa pouzivaju v skolach az po koniec gymnazialnej matematiky.

Vhodnejsia by bola nejaka vyukova interaktivna webka, len som ju este nenasiel. Neverim ze nieco dobre v tomto smere neexistuje, pretoze urcite nie som sam, kto skratka nema hlavu na matematiku, ale potrebuje ju, teda sa ju musi stoj co stoj naucit !

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2015 15:37

Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#2 14. 03. 2015 15:40

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#3 14. 03. 2015 15:52

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#4 14. 03. 2015 17:51

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

scirocco napsal(a):

#5 14. 03. 2015 19:47

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#6 14. 03. 2015 21:00

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#7 14. 03. 2015 21:12

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#8 15. 03. 2015 13:13 — Editoval Rapier (15. 03. 2015 13:13)

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#9 15. 03. 2015 16:51

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#10 15. 03. 2015 20:29

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#11 15. 03. 2015 20:57

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#12 15. 03. 2015 20:58

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#13 15. 03. 2015 21:02 — Editoval misaH (15. 03. 2015 21:04) Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem misaH.

#14 15. 03. 2015 21:11 — Editoval Rapier (15. 03. 2015 21:12)

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

scirocco napsal(a):

#15 15. 03. 2015 21:32

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#16 16. 03. 2015 16:08

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#17 16. 03. 2015 17:02

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#18 23. 03. 2015 16:08

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#19 23. 03. 2015 16:27 — Editoval misaH (23. 03. 2015 16:34)

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#20 23. 03. 2015 16:43

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#21 27. 03. 2015 13:09

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

#22 27. 03. 2015 14:52

Re: Ako rozdelit usecku podla pomeru k nej samej

Zápatí