Matematické Fórum

Krvilačník · 15. 03. 2015 13:36

Zdravím, beznádejne sa pokúšam nájsť nejaké rozumné zjednodušenie, môžete mi prosím poradiť?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-03/22912_limita.png

byk7 · 15. 03. 2015 13:40

Použij rozšíření výrazem $$\sqrt x+1$$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1$$

Brano · 15. 03. 2015 14:00

este moses pouzit substituciu $x=y^6$ a potom je to uz dost priamociare.

Freedy · 15. 03. 2015 16:27 — Editoval Freedy (15. 03. 2015 17:07)

Nebo taky l'hospitalovo pravidlo:
$\lim_{x\to1}\frac{\frac{x^{-\frac{2}{3}}}{3}}{\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}=\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=\lim_{x\to1}\frac{2\sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}}=\lim_{x\to1}\frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}-\frac{2}{3}}=\lim_{x\to1}\frac{2}{3\sqrt[6]{x}}=\dots$

byk7 · 15. 03. 2015 16:51

↑ Freedy:

To je jako jít s Tlustou Bertou na vrabce. Navíc zkratku lim není možné vynechávat.

Freedy · 15. 03. 2015 17:07 — Editoval Freedy (15. 03. 2015 17:16)

:D nebaví mě to opisovat, ale pro tvé potěšení to opravím :p

PS: moc možností než jít s tlustou bertou na vrabce sem neměl, jelikož vy dva ste jej už sejmuli vzduchovkou a flusačkou ;)

byk7 · 15. 03. 2015 17:21

↑ Freedy:

To není pro mé potěšení, ale prostě pro správnost. Vynechání je formálně špatné, protože kladeš rovnítko mezi výraz f(x), který může v principu nabývat nekonečně mnoha hodnot, a lim(x->c) f(x), což je objekt, který buďto vůbec neexistuje, anebo nabývá právě jedné hodnoty.

Freedy · 15. 03. 2015 19:23

↑ byk7: ano, všiml jsem si však, že to tu dělá dost lidí. Je to zkrátka pro to, že se jen upravuje výraz. Zajímalo by mě, jestli si i ty při výpočtu některých limit v papíře taky milionkrát opisuješ lim lim lim lim lim, nebo jestli jedeš jen úpravy.
A právě jedné hodnoty :) to je taky docela troufalý říct, nicméně, nebudem se tady předhánět v tom, kdo u koho najde formální chybu -.-

Krvilačník · 15. 03. 2015 21:48

Ďakujem všetkým za rady. Inak to ktoré L’Hospitalovo pravidlo si použil? nikde som nenašiel také pre výpočet limity 0/0 :D

misaH · 15. 03. 2015 22:05 — Editoval misaH (15. 03. 2015 22:07)

↑ Krvilačník:

http://sk.m.wikipedia.org/wiki/L’Hospitalovo_pravidlo

Freedy · 15. 03. 2015 22:08 — Editoval Freedy (15. 03. 2015 22:10)

L'hospitalovo pravidlo můžeme aplikovat na limity typu $\frac{0}{0}$ , $\frac{\text{cokoliv}}{\pm \infty }$ a rovněž musí být limita podílu derivací vlastní, nebo nevlastní.

:) ↑ Brano: ↑ byk7: nějaký adept ta výpočet limity z definice? (↑ misaH: :p )

byk7 · 16. 03. 2015 12:55

↑ Freedy:

$\frac{\text{cokoliv}}{\pm \infty }=0,\ \forall\text{cokoliv}\in\mathbb{R}$

Freedy · 16. 03. 2015 15:08

↑ byk7: :) správně, avšak pod pojmem cokoliv myslím i nevlastní limity a neexistenci limity. Což v $\forall \text{cokoliv}\in \mathbb{R}$ zahrnuto není.

byk7 · 16. 03. 2015 15:48

↑ Freedy: Nevlastní limity - ok, ale neexistence? Můžeš dát příklad reálných funkcí $f,g$ tak, že $\lim f(x)$ neexistuje, $\lim |g(x)|=\infty$ a $\lim \frac {f(x)}{g(x)}=\lim\frac {f'(x)}{g'(x)}$ ? Mě nic nenapadá.

Freedy · 16. 03. 2015 15:57 — Editoval Freedy (16. 03. 2015 15:57)

:D vím, že tohle je špatnej příklad, ale když splním tebou dané požadavky, tedy

$f(x) = \sin x$
$g(x) = x^2$

$\lim f(x)$ neexistuje
$\lim |g(x)|=\infty$ a platí:
$\lim \frac {f(x)}{g(x)}=\lim\frac {f'(x)}{g'(x)} = 0$

Ale zřejmě to není to co si chtěl ;)

byk7 · 16. 03. 2015 22:22

Já to velmi blbě naformuloval a nakonec i špatně napsal. Chtěl jsem najít takové funkce $f,g$ splňující ↑ podmínky:, ale $\lim \frac {f(x)}{g(x)}\neq\lim\frac {f'(x)}{g'(x)}$ .

Ale až teď jsem se dozvěděl, že pokud jsou splněny podmínky $\lim_{x\to\infty}|g(x)|=\infty$ a $\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ , pak $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L$ (přičemž žádnou podmínku pro $\lim_{x\to\infty}f(x)$ nemáme). Já jsem měl za to, že l'Hospitalovo pravidlo můžeme použít pouze na výrazy typu $\frac00$ a $\frac\infty\infty$ a v ostatních případech bylo nutno neurčité výrazy převést na výrazy tohoto typu, až pak bylo možné l'Hospitalovat.

Zbývá ještě rozřešit otázka, jestli to samé platí i pro limity ve vlastních bodech (resp. zprava/zleva).

Freedy · 16. 03. 2015 22:56

šlo by třeba toto
$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^2}}{-\frac{2}{x^3}}=\lim_{x\to0}\frac{x\cos \frac{1}{x}}{2}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ bych řekl.

Brano · 17. 03. 2015 09:59

tu je to naformulovane pre $c$ z rozsirenych realnych cisel (t.j. vlastny aj nevlastny bod) a dokaz "case 2" nevyuziva predpoklad o $f$ - pozri poznamku

Krvilačník · 21. 03. 2015 22:00

Narazil som ešte na jednu limitu, ktorú nedokážem vypočítať ani po objavení vyššie spomenutých pravidiel. Prosím vás teda o nejaký hint :)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-03/71616_limita2.png

Imidimidimid

↑ Krvilačník:

Vynásobíla by som čitateľ aj menovateľ rovnakým výrazom, ale v "strede" s plusom.

Druhý raz nová úloha do novej témy.

byk7 · 21. 03. 2015 22:08

↑ Krvilačník:

$\sqrt{(n+2)(n+4)}-n&=\frac{$\sqrt{(n+2)(n+4)}-n$$\sqrt{(n+2)(n+4)}+n$}{\sqrt{(n+2)(n+4)}+n}= \\ &=\frac{(n+2)(n+4)-n^2}{\sqrt{(n+2)(n+4)}+n\,}= \\ &=\frac{6n+8}{n+\sqrt{(n+2)(n+4)}\,}= \\ &=\frac{6+\frac{8}{n}}{1+\sqrt{$1+\frac2n$$1+\frac4n$}\,}$

Podaří se dokončit?

Krvilačník · 21. 03. 2015 22:20

Teraz ako sa na to pozerám tak nechápem ako som to nemohol vidieť :D ďakujem

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2015 13:36

Zapeklitá limita

#2 15. 03. 2015 13:40

Re: Zapeklitá limita

#3 15. 03. 2015 14:00

Re: Zapeklitá limita

#4 15. 03. 2015 16:27 — Editoval Freedy (15. 03. 2015 17:07)

Re: Zapeklitá limita

#5 15. 03. 2015 16:51

Re: Zapeklitá limita

#6 15. 03. 2015 17:07 — Editoval Freedy (15. 03. 2015 17:16)

Re: Zapeklitá limita

#7 15. 03. 2015 17:21

Re: Zapeklitá limita

#8 15. 03. 2015 19:23

Re: Zapeklitá limita

#9 15. 03. 2015 21:48

Re: Zapeklitá limita

#10 15. 03. 2015 22:05 — Editoval misaH (15. 03. 2015 22:07)

Re: Zapeklitá limita

#11 15. 03. 2015 22:08 — Editoval Freedy (15. 03. 2015 22:10)

Re: Zapeklitá limita

#12 16. 03. 2015 12:55

Re: Zapeklitá limita

#13 16. 03. 2015 15:08

Re: Zapeklitá limita

#14 16. 03. 2015 15:48

Re: Zapeklitá limita

#15 16. 03. 2015 15:57 — Editoval Freedy (16. 03. 2015 15:57)

Re: Zapeklitá limita

#16 16. 03. 2015 22:22

Re: Zapeklitá limita

#17 16. 03. 2015 22:56

Re: Zapeklitá limita

#18 17. 03. 2015 09:59

Re: Zapeklitá limita

#19 21. 03. 2015 22:00

Re: Zapeklitá limita

#20 21. 03. 2015 22:07 — Editoval Imidimidimid (21. 03. 2015 22:09)

Re: Zapeklitá limita

#21 21. 03. 2015 22:08

Re: Zapeklitá limita

#22 21. 03. 2015 22:20

Re: Zapeklitá limita

Zápatí