Matematické Fórum

Vladislav97

Dobrý den,

mám potíž s příkladem, který má neznámou v základu logaritmu. Krom toho, levá strana rovnice je v součinu a všechny základy logaritmů jsou jiné.

$\log_{x}2\cdot \log_{\frac{x}{16}}2=\log_{\frac{x}{64}}2$

Zkoušel jsem všechno možné. (např upravit logaritmy na podíl se stejnými základy):
např. ten první člen
$\frac{\log_{}2}{\log_{}x}\cdot atd...$

anebo:
$\frac{1}{\log_{2}x}\cdot atd...$

ale do žádnýho vhodnýho tvaru. kde bych se mohl zbavit logaritmu a porovnávat jenom ty argumenty, jsem nedošel.

Prosím o pomoc. Děkuji.

byk7 · 27. 03. 2015 20:12

Ten tebou popsaný první způsob vypadá správně, k čemu jsi došel?

Vladislav97 · 27. 03. 2015 20:22

Zdravím,

došel jsem sem:

$\frac{\log_{}2}{\log_{}x\cdot \log_{}\frac{x}{16}}= \frac{1}{\log_{}\frac{x}{64}}$

byk7 · 27. 03. 2015 20:37 — Editoval byk7 (27. 03. 2015 20:40)

Což můžeme upravit na $\log(2)\log$\frac{x}{64}$=\log(x)\log$\frac{x}{16}$$ ,
použít větu o logaritmu podílu následovanou substitucí.

Anebo původní rovnici $\log_{x}(2)\log_{\frac{x}{16}}(2)=\log_{\frac{x}{64}}(2)$
vynásobit výrazem $\log_2(x)\log_2$\frac{x}{16}$\log_2$\frac{x}{64}$$ .

Vladislav97

[re]p470114

Moc nechápu jak...všechno má přeci stejný základ.

Ledaže bych se to pokusil napsat jako rozdíl logaritmu.

Vladislav97

$\log_{}2\cdot (\log_{}x-\log_{}64)=\log_{}x\cdot (\log_{}x-\log_{}16)$ Takhle by to šlo?

A substituci...

byk7 · 27. 03. 2015 20:58

↑ Vladislav97:

Ano, to je možná cesta. Důvod, proč se mi nelíbí, je větší množství iracionálních čísel při následných úpravách. Ale to je jen na tobě, pokud se tím chceš prokousávat. Doporučil bych celou rovnici ještě vydělit číslem $\log^2(2)$ , tím dostaneme
$\frac{\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(64)}{\log(2)}=\frac{\log(x)}{\log(2)}$\frac{\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(16)}{\log(2)}$$ ,
tj.
$\log_2(x)-6=\log_2(x)\bigl(\log_2(x)-4\bigr)$
což je o poznání příjemnější.

Vladislav97 · 27. 03. 2015 21:01

Proč se to dělí $\log^2(2)$ ane $\log(2)$ ?

byk7 · 27. 03. 2015 21:06

Tak si to zkus, kdyby jsi to podělil jenom první mocninou, co by jsi dostal...

Vladislav97 · 27. 03. 2015 21:17

No, kdybych dělil $\log_{}2\cdot (\log_{}x-\log_{}64)=\log_{}x\cdot (\log_{}x-\log_{}16)$ tímto $\log(2)$ , tak asi pak přeci dostal, to co jsi napsal: $\frac{\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(64)}{\log(2)}=\frac{\log(x)}{\log(2)}$\frac{\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(16)}{\log(2)}$$ Nebo...uniká mi něco?

byk7 · 27. 03. 2015 21:33

Nemáš pravdu. Tak jsi zkus rovnici
$\frac{\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(64)}{\log(2)}=\frac{\log(x)}{\log(2)}$\frac{\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(16)}{\log(2)}$$
vynásobit tím $\log(2)$ , dostaneš to stejné, co ↑ tady: ?

Vladislav97 · 28. 03. 2015 14:38

Takže: $\log_{}2\cdot (\log_{}x-\log_{}64)=\log_{}x\cdot (\log_{}x-\log_{}16) \not : \log(2)$
$\neq$
$\frac{\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(64)}{\log(2)}=\frac{\log(x)}{\log(2)}$\frac{\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(16)}{\log(2)}$$

To je přeci divný. Vždyť se dělí každý člen...

misaH · 28. 03. 2015 17:47 — Editoval misaH (28. 03. 2015 17:54)

Keď by si delil iba tým log2, netýkalo by sa to vnútra zátvorky.

$(6\cdot 4):2=3\cdot 4=12$ a nie $\frac 62 \cdot \frac 42 (=6)$

Tým logaritmom sa delí iba raz. Buď delíš to, čo je pred zátvorkou alebo delíš to, čo je v zátvorke. Skús si to s číslami.

Tak aj tým logaritmom.

Vladislav97 · 28. 03. 2015 18:14

↑ misaH:

Jo, jasný! Nějak mě to zmátlo...teď je mi to jasný, v čem byla moje chyba. Díky :).

misaH · 29. 03. 2015 09:51

↑ Vladislav97:

:-)

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2015 20:05 — Editoval Vladislav97 (27. 03. 2015 20:07)

Logaritmické rovnice

#2 27. 03. 2015 20:12

Re: Logaritmické rovnice

#3 27. 03. 2015 20:22

Re: Logaritmické rovnice

#4 27. 03. 2015 20:37 — Editoval byk7 (27. 03. 2015 20:40)

Re: Logaritmické rovnice

#5 27. 03. 2015 20:41 — Editoval Vladislav97 (27. 03. 2015 20:43)

Re: Logaritmické rovnice

#6 27. 03. 2015 20:44 — Editoval Vladislav97 (27. 03. 2015 20:45)

Re: Logaritmické rovnice

#7 27. 03. 2015 20:58

Re: Logaritmické rovnice

#8 27. 03. 2015 21:01

Re: Logaritmické rovnice

#9 27. 03. 2015 21:06

Re: Logaritmické rovnice

#10 27. 03. 2015 21:17

Re: Logaritmické rovnice

#11 27. 03. 2015 21:33

Re: Logaritmické rovnice

#12 28. 03. 2015 14:38

Re: Logaritmické rovnice

#13 28. 03. 2015 17:47 — Editoval misaH (28. 03. 2015 17:54)

Re: Logaritmické rovnice

#14 28. 03. 2015 18:14

Re: Logaritmické rovnice

#15 29. 03. 2015 09:51

Re: Logaritmické rovnice

Zápatí