Matematické Fórum

xstudentíkx · 31. 03. 2015 11:42

Ahoj,

mám zde jeden příklad kde potřebuji drobnou pomoc....

Jedná se o označený příklad (d)

Mé řešení: upravím na: $(y+1)^{2}=4(x-2)$ a jednoduše dosadím bod M, dostanu:

$(y+1)(-1+1)=2(1-2)+2(x-2)$

z toho: $0=2x-6$ , a průsečíky jsou tedy: $T_{1}[3;1]$ a $T_{2}[3;-3]$

Což je dobře, nicméně má výsledná rovnice dobře není (s průsečíky nesedí). Jak to mám tedy spočítat, aby mi nevypadlo y?

misaH · 31. 03. 2015 11:49 — Editoval misaH (31. 03. 2015 11:50)

↑ xstudentíkx:

A bod M leží na kužeľosečke?

Myslím, že tá rovnica platí len pre bod dotyku.

misaH · 31. 03. 2015 12:09 — Editoval misaH (31. 03. 2015 12:20)

Vyšlo mi $y=-x$ a $y = x-2$

Ale neviem, či náhodou neexistuje jednoduchší spôsob.

Dotyčnica $y=kx+q$

Dosadíš M, dostaneš $k+q=-1$ .

Vyjadríš buď k alebo q a dosadíš do rovnice dotyčnice.

Potom y dosadíš do kužeľosečky a diskriminant vzniknutej kvadratickej rovnice položíš rovný 0 (priamka je dotyčnica).

Dostaneš buď q alebo k ... A dopočítaš čo treba.

xstudentíkx · 31. 03. 2015 12:17

↑ misaH:

Moc děkuji. Zvolit co nejjednodušší postup mi moc nevyšlo :D

Pomocí směrnicového tvaru mi vyšlo to co tobě :)

Jj · 31. 03. 2015 12:42 — Editoval Jj (31. 03. 2015 12:46)

↑ xstudentíkx:

Dobrý den.

Váš výpočet ještě není dokončen.

Rovnice, do níž dosazujete souřadnice bodu M

- je-li M bodem paraboly, dá rovnici tečny paraboly,
- není-li M bodem paraboly, dá rovnici tzv. poláry - tj. přímky, procházející body dotyku T1, T2 tečen spuštěných na parabolu z bodu M.

V tomto případě není bod M na parabole, tzn. řešení soustavy $2x-6 = 0, \quad (y+1)^{2}=4(x-2)$ se získají body dotyku, samotné tečny pak proložením přímek bodem M a jednotivými body dotyku.

Totéž samozřejmě i u polár ostatních kuželoseček.

Poznámka:

Oba případy (bod M na parabole nebo mimo ni) jsou z jistého hlediska shodné - je-li M na parabole, jsou oba body dotyku soumístné a polára jimi procházející je totožná s tečnou.

Edit - doplněno: Než jsem to dopsal, tak příspěvky "naskočily" - ale nechám to tak. Osobně myslím, že jde o velmi vhodnou a účelnou metodu výpočtu rovnic tečen kuželoseček.

Rumburak

↑ xstudentíkx:

Ahoj. Jen připojím jednu obecnou poznámku.

Hledáme-li přímku, pak se směrnicovým tvarem

(1) $y = kx + q$

musíme být opatrní, protože ne každá přímka takové vyjádření má a zda ho bude mít právě přímka, ktero hledáme,
nemusí být ihned jasné. Vedle přímek s rovnicí (1) je tedy potřeba ještě prozkoumat případy přímek o rovnici tvaru

(2) $x = m$ ,

což se sice u naší úlohy nakonec neuplatní, ale je potřeba o této alternativě vědět.

xstudentíkx

↑ Jj:

Dobrý den.

Dosazením do $\quad (y+1)^{2}=4(x-2)$ jsem získala mnou napsané body dotyku. S polárou jsem se setkala zatím pouze u kružnic....

samotné tečny pak proložením přímek bodem M a jednotivými body dotyku.

Mohl by jste mi prosím napsat jak to myslíte (konkrétně to s tím proložením přímek)? Tu větu čtu už po páté a pořád nevím jak na to. Snažím se řešením přes kvadratické rovnice vyhýbat, jelikož je to mnohdy dost obsáhlé a složité....

Já znám jako rovnici poláry tuto možnost: $(x-m)(x_{0}-m)+(y-n)(y_{0}-n)=r^{2}$ kde chápu proč takto vypadá a umím s ní pracovat. Nicméně u té paraboly nevím co myslíte.

Al1 · 31. 03. 2015 17:24 — Editoval Al1 (31. 03. 2015 17:32)

Polára spojuje body dotyku tečen vedených bodem M. Jestliže známe body dotyku, můžeme použít dosazení jejich souřadnic (postupně T1 a pak T2) do rovnice tečny, která je vedena bodem dotyku.
$(y_{0}+1)(y+1)=2(x-2)+2(x_{0}-2)$

Takže tebou vypočítaná rovnice z úvodu $0=2x-6$ je vlastně polára, na které leží body dotyku $T_{1};T_{2}$

xstudentíkx

↑ Al1:

Jo, už chápu. Tudíž je možné si tímto způsobem zjistit poláru, následně z ní průsečíky a pomocí rovnice tečny u paraboly (případně jiné kuželosečky)

Jj · 31. 03. 2015 17:56

↑ xstudentíkx:

Váš výpočet vychází číselně správně, takže jsem si ani nevšiml malé chybky v postupu.

Máme-li vnější bod paraboly o souřadnicích M(x0, y0) a rovnice paraboly v osové polooze je

$(y-n)^2=2p(x-m)$ , pak rovnice poláry má tvar $\color{blue}(y-n)(y_0-n)=p(x-m)+p(x_0-m)$

což je pro daný příklad $(y+1)(-1+1)=2(x-2)+2(1-2)\Rightarrow x = 3\Rightarrow T_1(3,1),T_2(3,-3)$ po vyřešení soustavy. Vám tudíž vyšel náhodou správný výsledek po dosazení do nesprávné rovnice.

Ještě obrázek:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

"Speciální" tvar poláry je jen u paraboly, u elipsy, kružnice a hyperboly se v rovnici křivky jen členy tvaru $(x-m)^2$ nahradí součinem $(x-m)(x_0-m)$ , obdobně u souřadnice y.

Al1 · 31. 03. 2015 18:14

↑ xstudentíkx:
Ano, to je možné. Další vysvětlení na Odkaz

xstudentíkx

↑ Jj:

Nechápu jaké chyby. Vždyť $(y+1)(-1+1)=2(1-2)+2(x-2)$ se rovná $(y+1)(-1+1)=2(x-2)+2(1-2)$

$2(1-2)+2(x-2)=2(x-2)+2(1-2)$

Já vím, že se to správně píše v pořadí v jakém to máte vy, nicméně to v tomto případě nehraje roli. A ani u jiných příkladů tohoto typu.

Sčítání je komutativní a to zde platí, takže vážně netuším jaké chyby jsem se dopustila.

↑ Al1:

Děkuji :)

Jj · 01. 04. 2015 09:14

↑ xstudentíkx:

Tak omluva - neměl jsem dost času a tady ↑ xstudentíkx: píšete o dosazování přímo do rovnice paraboly tak jsem dál nepátral.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2015 11:42

Parabola

#2 31. 03. 2015 11:49 — Editoval misaH (31. 03. 2015 11:50)

Re: Parabola

#3 31. 03. 2015 12:09 — Editoval misaH (31. 03. 2015 12:20)

Re: Parabola

#4 31. 03. 2015 12:17

Re: Parabola

#5 31. 03. 2015 12:42 — Editoval Jj (31. 03. 2015 12:46)

Re: Parabola

#6 31. 03. 2015 13:52 — Editoval Rumburak (31. 03. 2015 13:54)

Re: Parabola

#7 31. 03. 2015 17:00 — Editoval xstudentíkx (31. 03. 2015 17:28)

Re: Parabola

#8 31. 03. 2015 17:24 — Editoval Al1 (31. 03. 2015 17:32)

Re: Parabola

#9 31. 03. 2015 17:43 — Editoval xstudentíkx (31. 03. 2015 17:54)

Re: Parabola

#10 31. 03. 2015 17:56

Re: Parabola

#11 31. 03. 2015 18:14

Re: Parabola

#12 31. 03. 2015 18:31 — Editoval xstudentíkx (31. 03. 2015 18:34)

Re: Parabola

#13 01. 04. 2015 09:14

Re: Parabola

Zápatí