Matematické Fórum

Jde o to, co se myslí "numerickým" výpočtem - nemusí to být "analytický" výpočet pomocí Fubiniovy věty, ale třeba výpočet pomocí nějaké metody odvozené přímo z definice integrálu. Podle toho, že  je zde zmínka o "čom si cez kvadre", domnívám se, že jde o výpočet pomocí dělení (trojrozměrného) intervalu a výpočtu Riemannových součtů.  Viz definice Riemannova integrálu, která je pro vícerozměrný integrál v základním principu analogická jako pro jednorozměrný.

↑ lukinno1: Vidím to taté tak. I když jsem výpočty integrálů numerickými metodami nikdy nestudoval a ani o nich nemám přehled, vybavila se mi lichoběžníková metoda pro jednorozměrný integrál, která patří k těm známějším a jejímž přímým inspiračním zdrojem je definice R-integrálu. V definici R-integrálu vystupují tzv. horní a dolní součty výrazů tvaru

                 (x_i+1  -  x_i)  * c_i ,

kde {x_i} jsou dělící body intervalu, přes který integrujeme, a číslo c_i  je buďto m_i = inf  f(x)  nebo M_i = sup f(x)   (v obou případech přes interval <x_i,x_i+1>, f je integrovaná funkce) , podle toho, počítáme-li dolní součet nebo horní součet. Má-li fce f R-integrál, potom - pokud se norma dělení (tj. největší z hodnot (x_i+1  -  x_i))  blíží nule, blíží se horní i dolní součty hodnotě integrálu.
Hodnotě integrálu se pak blíží i součty upravené tak, že za c_i vezmeme libovolnou hodnotu z intervalu <m_i , M_i>. Lichoběžníková metoda volí

              c_i = (f(x_i)  + f(x_i+1)) / 2 ,  tj. aritmetický průměr z funkčních hodnot v krajních bodech dělícího intervalu.

Anologické vlastnosti má trojrozměrný R-integrál. 
I. Je-li množina, přes kterou integrujeme, kvádr  Q , jehož každá hrana je rovnoběžná s některou souřarnicovou osou,  pak dělení kvádru je dáno soustavou menších kvádrů q , které kvádr Q disjunktně vyplňují (kvádr Q takto rozdělíme rovinami rovnoběžnými s jeho stěnami).  Označíme-li vol(q) objem kvádru q, pak integrované funkci f mající uvažovaný R-integrál a dělícímu kvádru  q  přiřadíme číslo
 
(1)                         vol(q) * c_q

kde c_q  je libovolná hodnota ležící v rozmezí  inf f(x), sup f(x)  přes kvádr q. Pokud norma dělení, tj. největší ze všech hran všech dělících kvádrů jde k 0, potom součet čísel (1) přes všechny kvádry q daného dělení se blíží hodnotě integrálu.
Analogií lichoběžníkové metody by bylo vzít za   c_q  aritmetický průměr funkčních hodnot ve vrcholech kvádru q (je jich 8) .
Jak určit rychlost této konvegence ale netuším.

II. Není-li množina M, přes kterou integrujeme, kvádrem Q dle I , pak jí takový kvádr opíšeme, v bodech mimo M dodefinujeme funkci f hodnotou 0 a integrujeme přes Q podle I.


Mám mlhavou představu, že pro speciální případy funkcí existují další numerické metody - metody "iteračního typu" založené na Banachově větě o pevném bodě nebo nějakém jejím zobecnění.