Matematické Fórum

malarad · 03. 04. 2015 01:55

Prosím o radu,
Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jejímiž osami jsou přímky $y=x$ a $y=-x$ a která má délku hlavní poloosy $a=2\sqrt{2}$
Je mi jasné, že grafem je je nepřímá úměrnost a osy hyperboly jsou rotovány o $45^\circ$ oproti osám souřadnic.
našel jsem vztah $x\cdot y=k$ ale co to $k$ znamená?
děkuji

misaH · 03. 04. 2015 07:49 — Editoval misaH (03. 04. 2015 08:08)

↑ malarad:

Je to súčin súradníc ľubovoľného bodu hyperboly.

Ale neviem, či ti to pomôže.

Al1 · 03. 04. 2015 08:05

↑ malarad:

Ahoj,

když odhlédneme od kuželoseček a zaměříme se na nepřímou úměrnost, pak k je koeficient nepřímé úměrnosti, který udává např. výkon dělníka za 1 (časovou) jednotku v úloze typu tři dělníci vykonají práci za 6 hodin, jak dlouho by ji konalo 9 stejně výkonných dělníků. Pokud tuto úlohu popíšeme rovnicí, pak xy=18 a k=18.

Pro takto zadanou hyperbolu také platí, že $k=\pm \frac{1}{2}a^{2}$

malarad · 03. 04. 2015 10:27

Děkuji vám za odpovědi. Konstanta je tedy v podstatě obsah rovnoběžníku, jehož strany tvoří dvě souřadnice. Já jsem to tak původně myslel, ale nakreslil jsem si graf nepřímé úměrnosti pomocí kružítka a ty součiny samozřejmě neseděly. Teď už jsem si uvědomil, že je naivní kreslit graf nepřímé úměrnosti půl obloukem pomocí kružítka :-)

Rumburak

↑ malarad:
Ahoj. Ještě doplním další metodu.

Hledáme rovnoosou hyperbolu $h$ , jejímiž osami jsou přímky $y=x$ a $y=-x$ (délku hlavní poloosy prozatím ponechme
stranou). Takových hyperbol je nekonočně mnoho, jejich souhrn představuje množinu, kterou označme $H$ . Jak jsi správně
zjistil, každá z nich má rovnici tvaru

$xy=k , k \ne 0$ ,

kde $k$ je konstanta charakteristická pro tu kterou konkretní hyperbolu $h \in H$ .

Středem každé hyperboly je průsečík jejích os - v našem případě tedy počátek $P[0, 0]$ soustavy souřadnic. Vrcholy hyperboly
leží na její hlavní ose (tj. té, na níž leží také ohniska) a zároveň na kružnici, jejímž středem je střed hyperboly a poloměrem
délka její hlavní poloosy (aby tato délka byla zároveň vzdáleností vrcholu hyperboly od jejího středu). V našem případě jde
o kužnici s rovnicí

$x^2 + y^2 = a^2$ , kde $a=2\sqrt{2}$ .

Má-li být hlavní osou hyperboly přímka o rovnici $y=x$ , potom neznámý vrchol $A[x,y]$ hyperboly musí vyhovovat soustavě

$y=x$ ,
$xy=k$ ,
$x^2 + y^2 = a^2 = 8$ ,

odkud vypočteme hledanou konstantu $k$ .

Obdobně když budeme předpokládat, že hlavní osou je přímka o rovnici $y=-x$ .

malarad

↑ Rumburak:
moc díky, já rád poznávám různé cesty řešení :-)
Jak už jsem včera psal, nejde mi jen o to umět to spočítat, ale naučit se konstruktivně myslet. A tady na fóru jsou často zajímavé postřehy.

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2015 01:55

hyperbola xy=k

#2 03. 04. 2015 07:49 — Editoval misaH (03. 04. 2015 08:08)

Re: hyperbola xy=k

#3 03. 04. 2015 08:05

Re: hyperbola xy=k

#4 03. 04. 2015 10:27

Re: hyperbola xy=k

#5 03. 04. 2015 13:38 — Editoval Rumburak (03. 04. 2015 13:55)

Re: hyperbola xy=k

#6 03. 04. 2015 17:06 — Editoval malarad (03. 04. 2015 17:07)

Re: hyperbola xy=k

Zápatí